Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect24
.pdfЛекция 24. Положительная определенность
1. Положительно определенные квадратичные формы
Определение 1. Квадратичная форма q называется положительно определенной, если q(¹x) > 0 для всех векторов
¹
x¹ 6= 0.
Замечание. Пусть f вещественная функция нескольких переменных x1; : : : ; xn. Если в некоторой точке
a1; : : : ; an все частные производные функции f |
равны нулю, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f(x1; : : : ; xn) = f(a1; : : : ; an) + |
1 |
0 |
fx00ixj (a1; : : : ; an)(xi |
|
ai)(xj |
|
aj)1 |
+ O( x¹ |
a¹ |
|
3): |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
@X |
¡ |
|
¡ |
A |
j |
¡ |
j |
|
|
|
|
|
|
||||||||
i;j
Поведение квадратичной формы |
X |
|
|
|
fx00ixj (a1; : : : ; an)(xi ¡ ai)(xj ¡ aj) |
|
i;j |
определяет поведение функции f в окрестности особой точки a1; : : : ; an. В частности, если эта форма положительно определена, то точка a1; : : : ; an это точка (локального) минимума.
Замечание. Как выяснить, является ли форма q положительно определенной? Приведем ее к диагональному виду. Тогда форма положительно определена в том и только том случае, когда коэффициенты при всех квадратах положительны. Если же мы приводим форму к главным осям, то коэффициенты при квадратах это собственные числа матрицы формы. Таким образом, форма положительно определена в том и только том случае, когда собственные числа ее матрицы положительны.
2. Критерий Сильвестра
Есть полезный критерий положительной определенности.
Теорема 1 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма q положительно определена в том и только том случае, когда все главные миноры ¢1; ¢2; : : : ; ¢n положительны. Главный минор ¢i это определитель подматрицы Ai матрицы A квадратичной формы, составленной из элементов первых i строк и первых i столбцов.
Пример. Пусть q = x2 |
+ 2x x |
2 |
+ 4x x |
3 |
+ 3x2 + 4x |
x |
3 |
+ 3x2. Тогда |
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
@2 |
2 |
3A |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Aq = 01 3 |
21; ¢1 = 1; ¢2 = 2; ¢3 = |
|
2: |
|
||||||
Вывод: форма |
q |
не является положительно3 |
определенной. В частности q(2; 0; 1) = |
1. Кроме того, характери- |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
¡ |
¡ |
|||||||
стический многочлен матрицы Aq равен ¡x |
+7x ¡6x¡2, а его корни это ¡0:2548201113; 1:323190091; 5:931630020. |
||||||||||||||
Доказательство. Пусть все миноры ¢i > 0. Докажем положительную определенность формы q.
Пусть A матрица нашей квадратичной формы, а C матрица перехода к базису V , в котором форма диагональна, т.е. матрица CtAC диагональна. Матрица C невырождена (как матрица перехода), следовательно, ее главный ступенчатый вид это единичная матрица, т.е. C является произведением элементарных матриц
C = E1 ¢ : : : ¢ Ek, Ct = Ekt ¢ : : : ¢ E1t. Значит
Ekt ¢ : : : ¢ E1tAE1 ¢ : : : ¢ Ek = D диагональная матрица:
Теперь начнем выбирать элементарные матрицы.
Так как a11 = ¢1 > 0, то элементарными операциями третьего типа с участием первой строки можно обнулить все элементы первого столбца (кроме первого элемента). То-есть мы рассматриваем цепочку операций
T2 = T (1; 2; ¡a12=a11)); T3 = T (1; 3; ¡a13=a11); : : : ; Tn = T (1; n; ¡a1n=a11):
Это означает, что последовательные умножения
³ ³ ´ ´
E(Tn) ¢ : : : ¢ E(T2)A : : :
обнуляют первый столбец матрицы A (кроме первого элемента). Но теперь мы должны последовательно умножить справа на транспонированные матрицы
³E(T2)´t ¢ ¢ ¢ : : : ¢ ³E(Tn)´t :
Умножение на эти матрицы выполняет те же операции, но со столбцами. В результате последовательных умножений сначала слева, а потом справа мы получаем симметричную матрицу, первый столбец и первая строка которой нулевые (кроме первого элемента).
1
2
Как с самой матрицей A, так и с ее подматрицами Ai проводились только элементарные преобразования третьего типа. Значит, их определители не изменились. Новая подматрица A2 имеет теперь вид
новая A2 = µ |
a11 |
0 |
0 |
®¶: |
Так как ее определитель равен ® a11 = ¢2 > 0, то ® > 0. Теперь, используя элемент ®, мы обнуляем второй столбец и вторую строку, и в полученной матрице элемент в позиции (3,3) оказывается положительным.
И так далее. В конце концов мы приходим к диагональной матрице с положительными элементами на диагонали, т.е. к положительно определенной квадратичной форме. ¤
Замечание. Если все определители ¢1; : : : ; ¢n не равны нулю, то из доказательства теоремы следует, что теми же преобразованиями форма приводится к виду
¢ x2 |
+ |
¢2 |
x2 |
+ : : : + |
|
¢n |
x2 |
: |
||
|
¢ |
|
||||||||
1 1 |
|
¢ |
2 |
|
n¡1 |
n |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение доказательства. Пусть теперь наша форма положительно определена. Покажем, что все главные миноры > 0. Достаточно показать, что все главные миноры ненулевые.
Предположим, что минор ¢k = 0. Будем рассматривать векторы, у которых координаты xk+1 = xk+2 = : : : = xn = 0. Можно считать, что квадратичная форма на этих векторах имеет матрицу Ak. Но эта матрица вырождена. Следовательно, в диагональном виде формы коэффициент при каком-то квадрате нуль. Следовательно,
есть ненулевой вектор, на котором форма обращается в нуль. Противоречие. |
|
|
|
|
|
¤ |
||||||||||||||||||
Пример. При каких a и b форма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
q = x2 |
+ 2x x + 4x x + 4x x + 2x2 |
+ 6x x + 6x x + bx2 |
+ 2ax x + 4x2 |
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
1 |
4 |
2 |
2 |
3 |
|
2 |
4 |
3 |
|
|
3 |
4 |
|
4 |
|
положительно определена? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ¢1 |
= 1; ¢2 = 1; ¢3 = b |
|
5; ¢4 = |
|
b |
|
a2 |
+ 10a |
|
20: |
|||||||||
Aq = 01 2 |
|
3 31 |
¡ |
¡ |
¡ |
¡ |
||||||||||||||||||
B2 |
3 |
|
a |
4C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
@ |
2 |
3 |
|
b |
a |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Форма положительно определена, если b > 5 и a2 ¡ 10a + 20 + b < 0. Дискриминант многочлена a2 ¡ 10a + 20 + b равен 5 ¡ b, т.е. наша форма при всех значениях параметров положительно определенной не является.
Определение 2. Квадратичная форма q называется отрицательно определенной, если форма ¡q положительно определена.
Замечание. Форма отрицательно определена, если все собственные числа ее матрицы отрицательны. Критическая точка функции является локальным максимумом, если в этой точке многочлена Тейлора степени 2 этой функции отрицательно определен (как квадратичная форма).
Пример. Что можно сказать о локальных экстремумах функции f = x + y + z ¡ xyz? Имеем
fx0 = 1 ¡ yz = 0
fy0 = 1 ¡ xz = 0 ) x = y = z = §1: fz0 = 1 ¡ xy = 0
В точке (1; 1; 1)
f = 2 ¡ ((x ¡ 1)(y ¡ 1) + (x ¡ 1)(z ¡ 1) + (y ¡ 1)(z ¡ 1)) + слагаемые степени 3:
Собственные числа матрицы |
|
|
|
|
0 |
1=2 |
1=2 |
|
|
01=2 |
0 |
1=21 |
квадратичной формы x1x2 + x1x3 + x2x3 |
|
@1=2 |
1=2 |
0 |
A |
|
равны ¡1=2; ¡1=2; 1. Таким образом, в точке (1; 1; 1) нет ни максимума, ни минимума. Ситуация с точкой (¡1; ¡1; ¡1) аналогична.