Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect21
.pdf
Лекция 21. Симметричные и ортогональные операторы. Приложения
1. Симметричные операторы и максимальное растяжение
Пусть ' : R |
n |
! R |
n |
¹ |
|
|
линейный оператор такой, что ker(') = f0g. Мы обсуждали задачу вычисления |
максимального и минимального коэффициентов растяжения, т.е. вычисления чисел
max j'(¹v)j
¹ jv¹j
v¹=60
= max |
'(¹v) |
j и |
min |
j'(¹v)j |
= min |
'(¹v) : |
|
v¹ =1 j |
|
v¹=0¹ |
j |
v¹ |
v¹ =1 j |
j |
|
j j |
|
|
6 |
j |
j j |
|
|
Знание свойств симметричных операторов позволяет значительно упростить решение этой задачи. Мы знаем, что
j'(¹v)j2 = ('(¹v); '(¹v) = (A' ¢ (¹v); A' ¢ (¹v)) = (¹v; At'A' ¢ (¹v)):
Матрица At'A' симметрична, т.е. все корни характеристического многочлена вещественны, но, более того, они все положительны. Действительно, пусть ¸ собственное число и v¹ соответствующий собственный вектор, тогда
¸(¹v; v¹) = (¹v; ¸ v¹) = (¹v; At'A' ¢ (¹v)) = (A' ¢ (¹v); A' ¢ (¹v)) > 0:
Так как матрица A' невырождена, то у оператора ' есть ортонормированный базис из собственных векторов fv¹1; : : : ; v¹ng с положительными собственными числами ¸1; : : : ; ¸n, соответственно. Пусть 0 < ¸1 6 ¸2 6 : : : 6 ¸n. Тогда
µ¶2
max |
'(¹v) |
j |
= max(A |
' |
¢ |
(¹v); A |
' ¢ |
(¹v)) = max(¹v; At A |
' ¢ |
(¹v)) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
v¹ =1 j |
|
|
v¹ =1 |
|
|
v¹ =1 |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
j j |
|
|
|
j j |
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
max |
|
(x v¹ + : : : + x |
n |
v¹ ; ¸ x v¹ + : : : + ¸ |
n |
x |
v¹ ) = |
max |
(¸ |
x2 + : : : + ¸ |
x2 ) = ¸ |
n |
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
x2+:::+x2 |
|
1 1 |
|
n 1 1 1 |
|
|
|
|
|
n n |
+:::+x2 |
1 |
1 |
|
|
n n |
|
||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µjv¹j=1 j |
|
|
j¶ |
= ¸1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min '(¹v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. В Лекции 9 рассматривался оператор ' : |
R |
2 |
! |
R2 с матрицей A' = ( 3 2 ). Мы нашли, что максималь- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1:13 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ный коэффициент растяжения равен 4:13 (для вектора ( |
|
1 )), минимальный коэффициент растяжения равен |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡ |
t |
¢ |
|
|
3 1 |
3 2 |
|
|
10 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0:97 (для вектора |
¡0:88 |
). Теперь посмотрим, как это можно быстро вычислить. Имеем, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
µ2 2¶µ1 2¶ = µ |
|
|
|
|
¶ ) pB = ¸2 ¡ 18 ¸ + 16 ) ¸ = 9 § p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
B = A'A' = |
|
|
: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 8 |
65 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Максимальный коэффициент растяжения равен |
9 + p |
|
¼ 4:13, минимальный коэффициент растяжения ра- |
|||||||||||||||
65 |
||||||||||||||||||
вен 9 |
p |
|
0:97 |
|
|
|
|
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|||
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p |
¡ ¼ |
. Соответствующие векторыp |
165)=8¶ |
¼ |
µ¡ |
1 |
¶: |
|||||||||||
µ(1 + |
165)=8¶ ¼ µ |
1 |
¶ и µ(1 ¡ |
|||||||||||||||
|
p |
|
|
1:13 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
0:88 |
|
||||
Теперь рассмотрим задачу о максимальном и минимальном угле поворота.
2. Полярное разложение
Теорема (теорема о полярном разложении матрицы). Пусть A невырожденная матрица, тогда матрицу A можно представить в виде произведения A = O P , где O ортогональная матрица, а P симметричная матрица с положительными собственными числами.
Доказательство. Положим B = AtA. Как мы знаем, существует ортонормированный базис, в котором оператор ' с матрицей B диагонален с положительными числами на диагонали, т.е. существует ортогональная матрица C такая, что матрица F = C¡1BC диагональна с положительными числами на диагонали. Пусть G диагональная матрица, с положительными числами на диагонали такая, что G2 = F , а P = CGC¡1. Тогда
P 2 = CGC¡1CGC¡1 = CG2C¡1 = CF C¡1 = B и P t = (CGC¡1)t = (CGCt)t = CGCt =
Таким образом, P это симметричный „положительный\ квадратный корень из матрицы B. Положим Q = P ¡1 это симметричная матрица. Действительно, QP = P Q = E и P Qt = QtP
равенство Q = Qt следует из единственности обратной матрицы.
Положим теперь O = AQ. Покажем, что матрица O ортогональна. Действительно,
O Ot = AQQtAt = AQ2At = A(P ¡1)2At = A(P 2)¡1At = AB¡1At = A(AtA)¡1At = AA¡1(At)¡1
P:
= E. Теперь
At = E:
¤
1
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Рассмотрим оператор ', заданный матрицей |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
1 |
¶ ) p' = ¸2 ¡ 4¸ + 5 ) это псевдовращение: |
|
|
|
||||||
Имеем, |
|
A' = µ ¡2 |
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
5 ¡5 |
¶ ) |
P = p |
|
|
¶ ) |
P 2 = x2 + y2 xy + yz |
|
|||||
B = AtA = |
|
= x y |
|
|||||||||||
B |
: |
|||||||||||||
Получаем систему |
|
µ ¡5 10 |
|
|
µy z |
µxy + yz y2 + z2 |
¶ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = 5 |
|
z2 |
x2 = 5 |
|
|
x = z + y |
|
x = z + y |
|
|
|
|||
8 y(x + z) = ¡5 |
|
8 y(x¡+ z) = ¡5 |
) |
8 y(x + z) = ¡5 |
) |
8 y(y + 2z) = ¡5 |
) |
z2 |
+ 4yz + 3y2 = 0: |
|||||
< y2 + z2 = 10 |
) < y2 + z2 = 10 |
|
< y2 + z2 = 10 |
< y2 + z2 = 10 |
|
|
||||||||
Таким образом, z = |
3y или z = y. Во втором случае мы получаем иррациональную матрицу, но в первом |
|||||||||||||
: |
¡ |
: |
¡ |
|
|
|
: |
|
|
|
: |
|
|
|
целочисленную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = µ |
2 |
1 |
|
|
|
3=5 1=5 |
|
4=5 3=5 |
|
|||||
¡1 |
¡3 ¶ ) Q = P |
¡1 = µ1=5 2=5¶ ) O = AQ = µ ¡3=5 4=5 ¶: |
||||||||||||
Так как jOj = 1, то это поворот на arctg(3=4) ¼ 37± по часовой стрелке.
Итак, оператор работает следующим образом: сначала растяжения в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, а потом поворот. Поэтому, максимальный угол поворота равен максимальному углу поворота для оператора P плюс 37±.
Максимальный угол поворота для оператора P нетрудно найти в общем случае. Пусть происходит растяжение
в a > 0 раз по оси OX и в b > 0 раз по оси OY . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
v¹ = |
cos ® |
a cos ® |
¶ |
= u¹ ) cos \(¹v; u¹) = |
a cos2 ® + b sin2 ® |
|
|
|
|||||||||||||||
sin ® |
7! b sin ® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
2 |
cos |
2 |
® + b |
2 |
sin |
2 |
® |
|||||||||||||||
µ |
¶ |
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a cos2 ® |
|
|
b sin2 |
® = 0 |
, т.е. экстремум дости- |
|||||||||
Нетрудно найти, что экстремум достигается при угле ® таком, чтоp |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
гается на векторе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
b |
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
µ ¶ µ ¶
v¹ = pa ) u¹ = bpa ) cos \(¹v; u¹) = a + b :
В нашем случае a = (5 ¡ p5)=2, b = (5 + p5)=2 и cos \(¹v; u¹) = 2p5=5. Таким образом, максимальный угол поворота для матрицы P примерно равен 27±. И мы получаем, что максимальный угол поворота для исходного оператора примерно равен 64±, а минимальный угол 10±.
Замечание. В действительности, чтобы найти максимальный и минимальный углы поворота нам не нужно находить оператор O и даже оператор P .
Пусть A матрица оператора псевдо-вращения. Тогда jAj > 0, а так как jP j > 0, то jOj > 0, следовательно, jOj = 1, т.е. O матрица оператора поворота. Собственные векторы оператора P это собственные векторы оператора AtA (только собственные значения другие). Пусть v¹ такой собственный вектор, тогда действие оператора это растяжение, т.е. за изменение аргумента отвечает оператор O. Другими словами, направление
и величина угла поворота вектора v¹ при действии O совпадают с направлением и величиной угла поворота |
||||||||||||||||||||||||||
вектора v¹ при действии A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вернемся к нашему примеру. Собственные числа оператора AtA равны (15 § 5p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5)=2. Собственный вектор |
||||||||||||||||||||||||||
для собственного числа (15 + 5p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5)=2 равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
v¹ = 1 |
5p |
|
|
|
|
|
3 ¡ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
= |
4 |
: |
|||
5 |
|
u¹ = A |
|
v¹ = |
5 |
cos |
|
(¹v; u¹) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
µ |
¡2 |
|
¶ ) |
|
|
|
¢ |
|
µ4 + 2p5¶ ) |
|
\ |
|
|
10 2p |
5 |
|
50 + 10p |
5 |
5 |
|||||||
Таким образом, оператор O это поворот на угол равный arccos(4=5)p |
|
37¡±. |
|
p |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||