Algebra&Geometry / modules 3-4 / VOPROSN

Вопросник

по курсу “Линейная алгебра”, второй семестр. Группы М-21, ПИ-21, ПМИ-21 и ФИ-21

(1)Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы. Модуль и аргумент. Модуль и аргумент произведения. Формула Муавра. Корни. Основная теорема алгебры (формулировка).

(2)Корни многочленов с вещественными коэффициентами.

(3)Решение уравнений третьей степени. Формула Кардано и ее вывод.

(4)Вещественные уравнения третьей степени. Знак дискриминанта и число вещественных корней.

(5)Кратность корня многочлена. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида.

(6)n-мерное пространство Rn. Линейные комбинации и нетривиальные линейные комбинации. Линейная зависимость и независимость векторов. Критерий линейной зависимости в терминах ранга матрицы координат. Свойства векторов, отвечающих главным и свободным столбцам матрицы координат.

(7)Базис. Существование базиса. Два базиса одного множества содержат одинаковое количество векторов. Размерность. Построение базиса конечного множества.

(8)Линейное подпространство. Классификация линейных подпространств в R2 и в R3. Строгая монотонность размерности линейных подпространств.

(9)Линейная оболочка множества векторов. Линейная оболочка множества M и линейная оболочка базиса M. Линейная оболочка непустого множества является линейным подпространством. Линейное подпространство совпадает со своей линейной оболочкой.

(10)Пространство решений линейной однородной системы, его размерность и базис. Каждое линейное подпространство является пространством решений некоторой линейной однородной системы.

(11)Пересечение и сумма подпространств. dim(L + M) = dim L + dim M ¡ dim(L \ M). Прямая сумма.

(12)Базисы в пространстве Rn, координаты вектора в произвольном базисе. Матрица перехода и ее свойства. Матрица перехода и связь между координатными столбцами вектора в разных базисах.

(13)Линейный оператор и его матрица в стандартном и произвольном базисах. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

(14)Ядро и образ линейного оператора, их базисы и размерность. Сумма размерностей ядра и образа.

(15)Собственный вектор, собственное число и собственное подпространство. Размерность собственного подпространства.

(16)Характеристический многочлен и его степень. Характеристический многочлен не меняется при переходе к новому базису. Собственные числа и корни характеристического многочлена.

(17)Размерность собственного подпространства и кратность соответствующего корня характеристического многочлена.

(18)Классификация линейных операторов в R2.

(19)Определение инвариантного подпространства. Построение инвариантной плоскости по комплексному корню характеристического многочлена. Классификация линейных операторов в R3.

(20)Линейная независимость собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным числам. Достаточное условие диагонализуемости.

(21)Обобщенное ядро и его размерность

(22)Жордановы клетки и жорданова форма матрицы.

(23)Функция от жордановой клетки. Функция от жордановой матрицы. Интерполяционный многочлен и функции от матриц.

(24)Скалярное произведение в пространстве Rn. Евклидово пространство. Неравенство Коши и неравенство треугольника. Матрица Грама и условие ее невырожденности.

(25)Ортогональное дополнение и „теорема о трех перпендикулярах\. Размерность ортогонального дополнения линейного подпространства. Проекция вектора на подпространство. Метод наименьших квадратов. Условие единственности решения системы методом наименьших квадратов.

(26)Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы и их свойства.

(27)Скалярное произведение и транспонирование. Симметричные операторы. Корни характеристического многочлена симметричного оператора. Ортогональность собственных векторов симметричного оператора. Диагонализуемость симметричного оператора.

(28)Ортогональные операторы. Ортогональные операторы и скалярное произведение. Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. Корни характеристического многочлена ортогонального оператора.

(29)Классификация ортогональных операторов в R2 и R3.

(30)Полярное разложение.

(31)Квадратичные формы. Приведение формы к диагональному виду. Теорема инерции.

(32)Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы при переходе к новому базису. Квадратичные формы и симметричные операторы. Приведение формы к главным осям.

(33)Положительная определенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра.

(34)Линейные пространства. Базис и размерность. Столбцы координат и критерий линейной зависимости. Два базиса одного множества содержат одинаковое количество векторов. Критерий бесконечномерности и примеры бесконечномерных пространств.