Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect23
.pdfЛекция 23. Теорема инерции. Формы и симметричные операторы. Кривые и поверхности второго порядка
1. Теорема инерции
Если дана квадратичная форма q(¹x), то мы можем найти базис V иPсоответствующую замену координат такую, что в новых координатах (y1; : : : ; yn) форма q имеет вид q0(¹y) = ®iyi2. Предположим, что мы нашли еще один базис U и соответствующую замену координат такую, что в новых координатах (z1; : : : ; zn) форма q имеет вид q00(¹z) = P¯izi2. Существует ли связь между числами ®i и ¯j? Ответ на этот вопрос дается теоремой инерции.
Теорема 1 (теорема инерции). Пусть |
n |
®1xi2 и |
n |
¯jyj2 два различных диагональных вида квад- |
||||
i=1 |
j=1 |
|||||||
ратичной формы |
q |
(первый в базисе |
V |
, а |
второй в базисе U). Тогда число положительных коэффициентов |
|||
|
|
P |
|
P |
|
|||
®i равно числу положительных коэффициентов ¯j, а число отрицательных коэффициентов ®i равно числу отрицательных коэффициентов ¯j.
Доказательство. Предположим противное. Пусть, например, число положительных коэффициентов ®i, равное k, больше, чем число положительных коэффициентов ¯j, равное l.
Изменяя нумерацию векторов базиса, если это необходимо, будем считать, что коэффициенты ®1; : : : ; ®k по-
ложительны и что коэффициенты ¯1; : : : ; ¯l тоже положительны. Положим L = hv¹1; : : : ; v¹ki и M = hu¹l+1; : : : ; u¹ni. Так как dim L = k, dim M = n ¡l и k + n ¡l > n, то dim L \M > 0. Это означает, что найдется ненулевой вектор
w¹ 2 L \ M, т.е. вектор w¹ есть линейная комбинация векторов v¹1; : : : ; v¹k и он же есть линейная комбинация векторов u¹l+1; : : : ; u¹n:
|
w¹ = x1v¹1 + : : : + xkv¹k + 0 ¢ v¹k+1 + : : : + 0 ¢ v¹n; |
Следовательно, |
w¹ = 0 ¢ u¹1 + : : : + 0 ¢ u¹l + yl+1u¹l+1 + : : : + ynu¹n: |
|
|
|
0 < ®1x12 + : : : + ®kxk2 = q(w¹) = ¯l+1yl2+1 + : : : + ¯nyn2 6 0: |
Противоречие. |
¤ |
2. Квадратичные формы и симметричные матрицы
Симметричную матрицу A можно рассматривать с одной стороны, как матрицу квадратичной формы, с другой как матрицу симметричного оператора в стандартном базисе. Но переход к новому базису преобразует матрицу квадратичной формы как CtAC, оставляя ее симметричной. Матрицу же оператора этот переход преобразует как C¡1AC. При этом не только равенство матриц не сохранится, но и матрица оператора может перестать быть симметричной.
Однако, если происходит переход к ортонормированному базису, то ситуация другая: переход к такому базису осуществляется с помощью ортогональной матрицы перехода, для которой C¡1 = Ct. То-есть при переходе к новому ортонормированному базису матрица CtAC, как матрица квадратичной формы в новом базисе, равна матрице C¡1AC матрице симметричного оператора в новом базисе.
Но нам известно, что у симметричного оператора есть ортономированный базис из собственных векторов (в котором матрица оператора диагональна). Тогда в этом базисе матрица квадратичной формы будет диагональна, а коэффициенты при квадратах это просто собственные числа.
Сформулируем эти утверждение как теорему.
Теорема 2 (приведение к главным осям). Пусть q квадратичная форма и Aq ее матрица в стандарт-
ном базисе. Тогда существует ортонормированный базис V = fv¹1; : : : ; v¹ng такой, что в этом базисе форма
P
имеет вид q(¹y) = ¸iyi2 (здесь (y1; : : : ; yn) координаты вектора y¹ в базисе V ), причем ¸i это собственные числа матрицы Aq, а v¹i соответствующие собственные векторы.
3. График эллипса и гиперболы
Пример. Рассмотрим кривую второго порядка, заданную уравнением 3x2 + 4xy + 6y2 ¡ 14 = 0 (это эллипс). Приведем квадратичную форму
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
q = 3x2 |
+ 4xy + 6y2 |
с матрицей Aq = µ2 |
6¶ |
|||||||||
к главным осям. Имеем |
¯ |
2 |
6 |
|
¸¯ |
|
¡ |
¡ |
|
¡ |
||
p = |
¯ |
3 ¡ ¸ |
|
¡ |
|
¯ |
= ¸2 |
9¸ + 14 = (¸ |
|
2)(¸ |
7): |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
Далее, |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
; ¸2 = 2 ) v¹2 = |
µ¡1¶: |
|||
¸1 = 7 ) v¹1 = |
µ2¶ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1
2
В этом базисе квадратичная форма диагональна и имеет вид 7x21 + 2y12. Иными словами, поворот системы координат на угол ®, tg(®) = 2, преобразует уравнение эллипса к виду 7x21 + 2y12 ¡ 14 и к каноническому виду
x21 + y12 = 1:
2 7
Полуоси эллипса равны p2 ¼ 1:4 и p7 ¼ 2:65. Теперь легко нарисовать график.
4. Поверхности второго порядка
Уравнение поверхности второго порядка имеет вид
ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz + fz2 + gx + hy + kz + l = 0:
Слагаемые степени 2 образуют квадратичную форму от трех переменных. Следовательно, существует ортонормированная система координат, в которой уравнение поверхности имеет вид
ax2 + by2 + cz2 + dx + ey + fz + g = 0:
Переход к новой системе координат осуществляется вращением в R3.
Пример. Поверхность задана уравнением xy + xz + yz + a = 0. Как определить ее тип? Поступаем следующим
образом: строим матрицу соответствующей квадратичной формы |
|||||
Aq = |
01=2 |
|
0 1=21 |
||
|
0 |
|
1=2 |
1=2 |
A |
и находим собственные числа. Так как |
@1=2 |
1 |
1=2 |
0 |
|
|
|
|
|
||
rk(Aq + |
E) = 1; |
|
|||
|
|
||||
2 |
|
||||
то собственное число ¡1=2 имеет кратность > 2, а так как след матрицы равен нулю, то эта кратность равна двум, а третье собственное число равно 1. Следовательно, существует такой поворот системы координат, что в новых координатах уравнение поверхности таково:
¡12 x21 ¡ 12 y12 + z12 + a = 0:
Теперь
²если a > 0, то наша поверхность это однополостный гиперболоид вращения;
²если a = 0, то наша поверхность это круговой конус;
²если a < 0, то наша поверхность это двуполостный гиперболоид вращения.
Пример. Поверхность задана уравнением x2 + xy + xz + y2 + yz + z2 |
¡ 1 = 0. Матрица |
||||
Aq = |
01=2 |
1 1=21 |
|
||
|
1 |
1=2 |
1=2 |
A |
|
|
@1=2 |
1=2 |
1 |
|
|
соответствующей квадратичной формы имеет собственные числа 1=2, 1=2 и 2. После поворота уравнение имеет вид
x21 + y12 + 2z2 = 1:
2 2 1
Это эллипсоид вращения, у которого две полуоси равны p2, а третья 1=p2.