Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect22

2

3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов

Теорема 1. Пусть q некоторая квадратичная форма. Существует базис такой, что в новых координатах

форма есть сумма квадратов с коэффициентами q0 = Pn ®iy2, т.е. матрица формы q0 диагональна.

i=1 i

Доказательство. Первый случай. Если коэффициент a11 6= 0, то замена переменных

Пример. Пусть

q(¹x) = 2x21 + 2x1x2 ¡ x1x3 + x22 + 4x2x3 ¡ x23:

Замена y1 = x1 + x2=2 ¡ x3=4, y2 = x2, y3 = x3 дает

q(¹x) = 2(x21 + x1x2 ¡ x1x3=2) + x22 + 4x2x3 ¡ x23 = 2(x1 + x2=2 ¡ x3=4)2¡

¡2(x2=2 ¡ x3=4)2 + x22 + 4x2x3 ¡ x23 = 2y12 ¡ 2(y2=2 ¡ y3=4)2 + y22 + 4y2y3 ¡ y32 =

=2y12 + y22=2 + 9y2y3=2 ¡ 9y32=8:

Продолжение доказательства Теоремы 1. Второй случай. Если коэффициент a11 = 0, но какой-нибудь из коэффициентов aii =6 0, например, a22 =6 0, то первую переменную объявляем второй, а вторую первой.

Третий случай. Если все коэффициенты aii = 0, но какой-нибудь из коэффициентов aij 6= 0, то поступаем следующим образом. Пусть, например a12 6= 0, тогда замена переменных

x1 = y1 + y2; x2 = y1 ¡ y2; xi = yi; при i > 2

приводит квадратичную форму к виду

X

bijyiyj; где b11 =6 0:

16i6j6n

После чего мы действуем, как в первом случае. Пример. Пусть q(¹x) = x1x2 + 2x1x3 + 3x2x3. Замена

x1 = y1 + y2; x2 = y1 ¡ y2; x3 = y3

дает

q = y12 ¡ y22 + 2y1y3 + 2y2y3 + 3y1y3 ¡ 3y2y3 = y12 + 5y1y3 ¡ y22 ¡ y2y3:

Продолжение доказательства Теоремы 1. Теперь первая переменная исключается из рассмотрения, и мы точно также поступаем со второй переменной. И так далее. ¤

Замечание. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов мы будем называть приведением к диагональному виду.

Другими словами, замена переменных

8

< x1 = z1 + z2=2 + 3z3=5

:x2 = z2 + z3=5 x3 = z3

приводит квадратичную форму q к диагональному виду. Этой замене отвечает матрица перехода