Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect25

Лекция 25. Линейные пространства

1. Примеры линейных пространств

Линейное пространство это множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа (с соблюдением всех обычных правил). Элементы линейного пространства называются векторами. Среди векторов

¹ n

есть особый вектор 0, который обладает всеми свойствами нулевого вектора в пространстве R .

Примеры.

²Пространство последовательностей. Нулевой вектор последовательность (0; 0; 0; : : :).

²Пространство ограниченных последовательностей. Нулевой вектор последовательность (0; 0; 0; : : :).

²Пространство сходящихся последовательностей. Нулевой вектор последовательность (0; 0; 0; : : :).

²Пространство последовательностей, сходящихся к нулю. Нулевой вектор последовательность (0; 0; 0; : : :).

²Пространство сходящихся рядов. Нулевой вектор ряд 0 + 0 + 0 + : : :.

²Пространство абсолютно сходящихся рядов. Нулевой вектор ряд 0 + 0 + 0 + : : :.

²Пространство многочленов.

²Пространство многочленов степени 6 n.

²Пространство непрерывных функций на отрезке [0; 1].

²Пространство n £ n-матриц.

Итак далее.

2. Линейные комбинации, линейная зависимость, базис

Пусть L линейное пространство.

Определение линейной комбинации (тривиальной и нетривиальной) такое же, как в Rn случае. Определение линейной зависимости/независимости такое же, как в Rn случае.

Определение базиса множества M ½ L такое же, как в Rn случае. Определение линейного подпространства такое же, как в Rn случае.

Определение 1. Множество M ½ L (или само пространство L) называется конечномерным, если у него есть базис. В противном случае, множество (само пространство) называется бесконечномерным.

Примеры.

²Пространство многочленов степени 6 n конечномерно: базис f1; x; x2; : : : ; xng.

²Пространство n£n-матриц конечномерно. Например, базис пространства 2£2-матриц состоит из четырех

²Упомянутые выше пространства последовательностей, рядов и функций, а также пространство всех многочленов бесконечномерны.

Предложение 1. Пусть V = fv¹1; : : : ; v¹ng базис подмножества M линейного пространства L. Тогда каждый вектор v¹ 2 M единственным образом представим в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство. Представимость следует из определения базиса. Если вектор имеет два различных представления:

v¹ = ®1v¹1 + : : : + ®nv¹n и v¹ = ¯1v¹1 + : : : + ¯nv¹n;

то из этого вытекает существование нетривиальной линейной комбинации векторов базиса, равной нулю:

¹

(®1 ¡ ¯1)¹v1 + : : : + (®n ¡ ¯n)¹vn = 0:

¤

Если множество M ½ L имеет базис V , то каждому вектору v¹ 2 M мы сопоставляем столбец (¹v)V коэффициентов его представления в виде линейной комбинации векторов базиса. Этот столбец мы будем называть

столбцом координат вектора v¹ в базисе V .

Предложение 2. Пусть V = fv¹1; : : : ; v¹ng базис подмножества M ½ L, а u¹1; : : : ; u¹k 2 M некоторые векторы. Составим из столбцов (¹u1)V ; : : : ; (¹uk)V матрицу A. Тогда набор векторов u¹1; : : : ; u¹k линейно зависим в том и только случае, когда rk(A) < k.

Следствие. Если V = fv¹1; : : : ; v¹ng и U = fu¹1; : : : ; u¹mg два базиса подмножества M ½ L, то n = m.

Доказательство. Пусть, например, m > n, тогда ранг n £ m матрицы коэффициентов векторов u¹1; : : : ; u¹m в базисе V не превышает числа n. Следовательно, набор векторов u¹1; : : : ; u¹m линейно зависим. Противоречие. ¤

1