Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect06

Лекция 6. Линейные подпространства

1. Пространство решений однородной системы

Продолжим изучение линейных подпространств.

Определение 1. Рассмотрим линейную однородную систему

Множество всех таких векторов называется множеством или пространством решений системы.

Теорема 1. Пространство решений линейной однородной системы является линейным подпространством.

Доказательство. Из формулы общего решения линейной однородной системы вытекает, что множество решений является линейной оболочкой базисных столбцов, т.е. линейным подпространством. ¤

Наша следующая задача найти размерность и базис пространства решений линейной однородной системы.

Теорема 2. Рассмотрим линейную однородную систему с матрицей A. Пусть L ½ Rn пространство ее решений. Тогда dim L = n ¡ rk(A), а базисные столбцы образуют базис L.

Доказательство. Базисные столбцы являются решениями, т.е. принадлежат L. Каждое решение является их линейной комбинацией. Их линейная независимость очевидна. Поэтому, базисные столбцы образуют базис L. Их число равно количеству свободных неизвестных, что равно n минус число главных неизвестных, что

Пример. В трехмерном пространстве легко переходить от одного описания линейного подпространства к другому. Пусть 011 011

L = hv;¹ u¹i = h@1A; @0Ai ½ R3:

0 1

2

Следовательно, L это пространство решений½системы

2x ¡ y = 0

3y ¡ 2z = 0

Замечание. Пространство решений неоднородной системы не является линейным подпространством нулевой вектор не является решением неоднородной системы.

Оказывается, каждое линейное подпространство является множеством решений некоторой линейной однородной системы.

Теорема 3. Пусть L ½ Rn линейное подпространство. Тогда L является пространством решений некоторой однородной системы.

Доказательство. Пусть v¹1; : : : ; v¹k базис L (т.е. dim L = k) и пусть A n £ k матрица, составленная из координат векторов v¹i. Матрицу At будем считать матрицей линейной однородной системы S. Пусть M пространство решений системы S. Тогда M линейной подпространство размерности n ¡ k (потому что rk(At) = rk(A) = k).

Пусть векторы u¹1; : : : u¹n¡k образуют базис пространства M. Рассмотрим n £ (n ¡ k)-матрицу B, составленную из координат векторов u¹1; : : : u¹n¡k. Тогда матрица Bt это матрица линейной однородной системы S0 такой, что пространство ее решений это L.

Обозначим через N пространство решений системы S0. Тогда dim N = k. Докажем, что L µ N. Для этого нужно показать, что каждый вектор из L является решением системы S0, или, что каждый вектор v¹i, i = 1; : : : ; k, является решением этой системы, т.е. является решением каждого из n ¡ k уравнений системы S0. Рассмотрим j-е уравнение этой системы: b1x1 + : : : + bnxn = 0. Здесь числа b1; : : : ; bn это координаты

вектора u¹j.

Пусть вектор v¹i имеет координаты a1; : : : ; an. Нам нужно показать, что b1a1 + : : : + bnan = 0. Но это действительно так, потому что вектор u¹j является решением i-го уравнения системы S.

Итак, L µ N и размерности этих подпространств совпадают (равны k). Теперь утверждение вытекает из

Есть и другой прием построения системы. Рассмотрим вектор v¹ 2 L с неопределенными коэффициентами x1; x2; x3; x4; x5, и построим матрицу

Так как первые три вектора образуют базис L, а v¹ 2 L, то в ступенчатом виде этой матрицы первые три

И мы получаем ту же самую систему (что совершенно не обязательно).