Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect10

Предложение 1. Ядро линейного оператора ' является линейным подпространством и его размерность равна n ¡ rk(A').

¹ ¹

Доказательство. Вектор x¹ принадлежит ядру оператора ', если '(¹x) = 0, но это означает, что A'(¹x) = 0, т.е. вектор x¹ 2 ker(') в том и только том случае, когда вектор x¹ принадлежит пространству решений линейной однородной системы с матрицей A'. Таким образом, ядро это пространство решений однородной системы, а, значит, подпространство. Размерность пространства решений равна количеству базисных столбцов, т.е. количеству свободных неизвестных. Так как число свободных неизвестных равно n минус число главных неизвестных, то dim ker(') = n ¡ rk(A'). ¤

Определение 2. Образом im(') оператора ' : Rn ! Rn называется множество векторов, которое определяется так: y¹ 2 im(') в том и только том случае, когда существует вектор x¹ такой, что '(¹x) = y¹.

Предложение 2. Образ линейного оператора ' является линейным подпространством, а размерность образа равна рангу матрицы A'.

Доказательство. Вектор x¹ с координатами (x1; : : : ; xn) является линейной комбинацией векторов базиса:

x¹ = x1e¹1 + : : : + xne¹n. Поэтому, '(¹x) = x1'(¹e1) + : : : + xn'(¹en). Таким образом, образ это линейная оболочка h'(¹e1); : : : ; '(¹en)i, т.е. линейное подпространство. Векторы '(¹e1); : : : ; '(¹en) это столбцы матрицы

оператора A'. Следовательно, dim im(Á) это размерность множества столбцов '(¹e1); : : : ; '(¹en), т.е. ранг матрицы A'. ¤

Следствие. dim ker(') + dim im(') = n:

Пример. Рассмотрим оператор ' : R2 ! R2 с матрицей

µ1 1¶

A' = 2 2

Геометрически действие этого оператора можно описать так: сначала осуществляется проекция на прямую hv¹2i параллельно прямой hv¹1i, а потом происходит растяжение вдоль прямой hv¹2i в 3 раза.

2. Собственные векторы и собственные подпространства

Изучение ядра и образа это лишь первый шаг в изучении оператора. Дадим важное определение.

Определение 3. Пусть ' : Rn ! Rn линейный оператор. Ненулевой вектор v¹ 2 Rn называется собственным вектором оператора ', если '(¹v) = ¸v¹. При этом число ¸ называется собственным числом, отвечающим

¹

собственному вектору v¹ (число ¸ может равняться нулю). Другими словами, вектор v¹ 6= 0 собственный, если векторы v¹ и '(¹v) коллинеарны.

Замечание. Каждый ненулевой вектор ядра является собственным с собственным числом 0.

Замечание. На матричном языке условие '(¹v) = ¸v¹ записывается как A' ¢ (¹v) = ¸ ¢ v¹ = ¸E ¢ (¹v), т.е. (A' ¡

¹

¸E)(¹v) = 0. Это означает, что собственный вектор, отвечающий собственному числу ¸ является ненулевым решением однородной системы с матрицей A' ¡ ¸E.

Пример. Рассмотрим в R2 оператор проекции на ось OX. Здесь собственными векторами являются векторы, лежащие на оси OX, с собственным числом 1 и векторы, лежащие на оси OY , с собственным числом 0.

1