Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect12

2

В третьем случае у нас есть собственный вектор v¹, jv¹j = 1, с собственным числом ¸0. Пусть u¹, ju¹j = 1, вектор, ортогональный вектору v¹, причем пара fv;¹ u¹g правая. Тогда в базисе V = fv;¹ u¹g

А так как корни характеристического многочлена совпадают, то b = ¸0.

3. Характеристический многочлен равен ¸2

Пусть ' : R2 ! R2 линейный оператор и p' = ¸2. Это означает, что 0 собственное число. Следовательно, dim ker(') > 0. Если dim ker(') = 2, то каждый вектор плоскости принадлежит ядру, и наш оператор просто 0.

Если dim ker(') = 1, то dim im(') = 1, т.е. ядро и образ это прямые на плоскости, проходящие через начало координат. Эти прямые либо совпадают, либо имеют одну общую точку 0. Рассмотрим второй случай. Пусть v¹ 2 im(') ненулевой вектор. Так как v¹ 2= ker('), то '(¹v) 2 im(') ненулевой вектор. Следовательно, векторы v¹ и '(¹v) пропорциональны: '(¹v) = ®v¹, ® =6 0. Значит, ®ненулевое собственное число, что противоречит тому, что единственный корень характеристического многочлена это число 0.

Таким образом, образ и ядро одномерны и совпадают. Пусть v¹ ненулевой вектор из ядра, а,

¹

значит, из образа. Тогда: а) '(¹v) = 0; б) существует вектор u¹ такой, что '(¹u) = v¹. Так как вектор u¹ не принадлежит ядру, что V = fv;¹ u¹g базис, и

4. Линейная независимость собственных векторов

Докажем важную теорему.

Теорема 2. Предположим, что попарно различные числа ¸1; : : : ; ¸k являются собственными числами линейного оператора ' : Rn ! Rn, и пусть v¹1; : : : ; v¹k соответствующие собственные векторы, т.е. '(¹vi) = ¸iv¹i, i = 1; : : : ; k. Тогда векторы v¹1; : : : ; v¹k линейно независимы.

Доказательство. Предположим, что эта система векторов линейно зависима, т.е. существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

нию собственного вектора. Покажем, что существует нетривиальная линейная комбинация векторов v¹2; : : : ; v¹k (т.е. не содержащая вектора v¹1), равная нулю. Действительно, применим к равенству (1) оператор ' и получим

Так как все разности ¸2 ¡¸1; : : : ; ¸k ¡¸1 не равны нулю, то мы получили требуемую нетривиальную линейную комбинацию, не содержащую вектора v¹1.

Далее, точно так же, мы можем построить нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю, не содержащую векторов v¹1 и v¹2. В конце концов мы построим нетривиальную линейную комбинацию равную нулю, в которой фигурирует только один вектор v¹k. Но это означает, что собственный вектор v¹k нулевой. противоречие. ¤

Используя Теорему 2, нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть все корни характеристического многочлена p' попарно различны, причем

¸1; : : : ; ¸k это вещественные корни (т.е. собственные числа), а »1;2 = ¹1 §i º1; »3;4 = ¹2 §i º2; : : :

пары комплексно сопряженных корней. Пусть w¹1; : : : ; w¹k соответствующие собственные векторы, а v¹1; u¹1; v¹2; u¹2; : : : пары векторов, построенные по комплексным корням. Тогда набор векторов w¹1; : : : ; w¹k; v¹1; u¹1; v¹2; u¹2; : : : линейно независим.

3

Доказательство. Пусть оператор действует в комплексном пространстве Cn с той же матрицей. Векторы w¹1; : : : ; w¹k собственные с теми же собственными числами, а, кроме того, есть еще собственный векторы z¹1; z¹2; z¹3; z¹4; : : : с собственными числами »1; »2; »3; »4; : : :. Здесь

'(¹z1) = '(¹v1 + i u¹1) = (¹1 + i º1)¹z1 = »1z¹1; '(¹z2) = '(¹v1 ¡ i u¹1) = (¹1 ¡ i º1)¹z2 = »2z¹2;

и так далее. Из Теоремы 2 следует, что набор векторов w¹1; : : : ; w¹k; z¹1; z¹2; z¹3; z¹4; : : : линейно независим. Предположим, что утверждение Теоремы 3 неверно и что существует нетривиальная линейная

комбинация, равная нулю:

¹

®1w¹1 + : : : + ®kw¹k + ¯1v¹1 + °1u¹1 + ¯2v¹2 + °2u¹2 + : : : = 0:

5. Линейные операторы в R3

Пусть корни характеристического многочлена простые.

5.1. Три корня ¸1, ¸2 и ¸3 характеристического многочлена вещественные и попарно различные. В этом случае (Теорема 2) есть три некомпланарных собственных вектора v¹1, v¹2 и v¹3, образующих базис V . Оператор действует так: произвольный вектор v¹ проектируется на прямую L1 = hv¹1i параллельно плоскости ¦1 = hv¹2; v¹3i, проектируется на прямую L2 = hv¹2i параллельно плоскости ¦2 = hv¹1; v¹3i и проектируется на прямую L3 = hv¹3i параллельно плоскости ¦3 = hv¹1; v¹2i. Первая проекция вектор u¹1 умножается на ¸1, вторая вектор u¹2 на ¸2, третья вектор u¹3на ¸3. Результат '(¹v) = ¸1u¹1 + ¸2u¹2 + ¸3u¹3, и

5.2. У характеристического многочлена один вещественный корень ¸1 и два комплексно сопряженных ¸2;3 = ® §i ¯, ¯ 6= 0. В этом случае существует собственный вектор w¹: '(w¹) = ¸1w¹, и два вектора v¹ и u¹ таких, что '(¹v) = ®v¹ ¡ ¯u¹ и '(¹u) = ¯v¹ + ®u¹. Эти три вектора w¹, v¹ и u¹ линейно независимы (Теорема 3).

Итак, три вектора w¹, v¹ и u¹ образуют базис V пространства R3 и

Рассмотрим геометрию действия такого оператора. Пусть L = hw¹i прямая и ¦ = hv;¹ u¹i инвариантная плоскость. Тогда оператор проектирует на L параллельно ¦ и умножает проекцию на ¸1. Далее оператор проектирует на ¦ параллельно L и „псевдовращает\ эту проекцию. Сумма двух полученных таким образом векторов и есть результат действия оператора.