Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect19

Лекция 19. Ортогональные операторы в евклидовых пространствах

1. Ортогональные операторы

Определение 1. Линейный оператор ' в евклидовом пространстве Rn называется ортогональным, если j'(¹x)j = jx¹j, для любого вектора x¹ 2 Rn.

¹

Замечание. Так как ортогональный оператор ' сохраняет длину вектора, то ядро ker(') = f0g. Следовательно, im(') = Rn.

Предложение 1. Пусть ' ортогональный оператор, тогда ('(¹x); '(¹y)) = (¹x; y¹), для всех векторов x;¹ y¹ 2 Rn.

Доказательство. Имеем,

(¹x + y;¹ x¹ + y¹) = (¹x; x¹) + 2(¹x; y¹) + (¹y; y¹)

и

('(¹x + y¹); '(¹x + y¹)) = ('(¹x); '(¹x)) + 2('(¹x); '(¹y)) + ('(¹y); '(¹y)):

Вычитая одно равенство из другого и используя тот факт, что

Следствие. Ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть ' ортогональный оператор, а V = fv¹1; : : : ; v¹ng ортонормированный базис пространства Rn. Тогда векторы '(¹v1); : : : ; '(¹vn) образуют ортонормированную систему, а так как их матрица Грама невырождена, то эти векторы линейно независимы. Следовательно, они образуют ортонормированный базис пространства Rn. ¤

Справедливо и обратное утверждение.

Предложение 2. Пусть ' линейный оператор в евклидовом пространстве Rn, V = fv¹1; : : : ; v¹ng ортонормированный базис. Если вектора '(¹v1); : : : ; '(¹vn) образуют ортонормированный базис в Rn, то оператор ' ортогонален.

Доказательство. Пусть x¹ = x1v¹1 + ¢ ¢ ¢ + xnv¹n. Так как V ортонормированный базис, то jx¹j2 = x21 + ¢ ¢ ¢ + x2n.

Следствие. Если ' ортогональный оператор, то его матрица A' ортогональна.

Этот факт позволяет легко выяснить, является ли оператор ортогональным, если известна его матрица в стандартном базисе.

Пример. Оператор ' : R3 ! R3 задан своей матрицей A в стандартном базисе:

Легко проверить, что AAt = E. Значит, оператор ' ортогонален.

Предложение 3. Собственными числами ортогонального оператора могут быть только 1 и ¡1.

Доказательство. Пусть ¹ собственное число ортогонального оператора ', а v¹ соответствующий собственный вектор: '(¹v) = ¹v¹. Но тогда j¹v¹j = j¹j ¢ jv¹j = jv¹j, т.е. j¹j = 1. ¤

Справедливо более общее утверждение.

Предложение 4. Пусть ' ортогональный оператор, а ¹ корень его характеристического многочлена p'(¸). Тогда j¹j = 1.

Доказательство. Если ¹ вещественный корень, то ¹ собственное число и тогда ¹ = §1 (Предложение 3). Пусть теперь ¹ = ® + i ¯, ¯ =6 0. В этом случае, как мы знаем, есть два ненулевых, неколлинеарных вектора v¹ и u¹ такие, что

'(¹v) = ®v¹ ¡ ¯u¹ '(¹u) = ¯v¹ + ®u¹

Равенства

('(¹v); '(¹v)) = (¹v; v¹); ('(¹u); '(¹u)) = (¹u; u¹); ('(¹v); '(¹u)) = (¹v; u¹)

1