векторная алгебра
.pdf
1)detA= |
=1≠0 система линейно независима базис в Rn |
по определению.
2)легко проверить, что это ортонормированный базис, т.к.
( |
; ) = |
; |
≠ |
|
; |
= |
Такой базис будем называть естественным в пространстве Rn
Заметим, что вектор а = (а
;а
;…
;а ) пространства Rn в
естественном базисе имеет разложение:
=a1
+a2
+…+an
Таким образом, координаты вектора в естественном базисе совпадают с заданием вектора в евклидовом пространстве Rn
Например, естественный базис в пространстве R2 это орты координатных осей ; , при этом разложение вектора в этом базисе записывают: =x +y .
Аналогично, естественный базис в пространстве R3 это орты координатных осей ; ,к при этом разложение вектора в этом базисе записывают: =x +y +z
Пример (аналогичный пример есть в итоговом тесте)
1) Проверить, что данный базис является ортонормированным:
е |
= |
|
|
е |
= |
√ |
|
е |
= |
√ |
Т |
|
|
|
|
(2;2;-1)Т; |
|
|
(-1;3;4)Т; |
|
|
(11;-7;8)Т |
|||||
|
) Найти координаты вектора а=(1;-2;0) |
|
в этом базисе. |
||||||||||
Решение:
31
)Проверим, что вектора попарно ортогональны.
(е ;е )= |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
(2*(-1)+2*3+(-1)*4)=0; |
|||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(е ;е ) = |
|
|
|
|
√ |
|
|
(2*11+2*(-7)+(-1)*8)=0 |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
(е ;е )= |
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
((-1)*11+3*(-7)+4*8)=0 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Ортогональный
базис
2)Проверим, что этот базис нормированный, т.е. длины векторов равны 1.
е |
= |
|
|
|
√ |
|
|
+ |
+ |
=1; |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ортонормированный |
|||||
е |
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
базис |
||||||
е = |
√ |
|
|
|
|
√ |
+ |
+ |
=1 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
3)а =х1е
+ х2е
+х3е
формула разложения данного вектора в
ортонормированном базисе.
Координаты вектора найдём по формулам Фурье:
1=( ; |
)= |
|
|
(2*1+2*(-2)+0)=- |
|
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||||||||
x2=( ; |
)= |
√ |
|
|
(-1*1+3*(-2)+0)=- |
√ |
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
x3=( ; |
)= |
√ |
|
|
|
(11*1+(-7)*(-2))= |
√ |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: а = −
е
+ -√
е
+√
е
32