Тема 3(2)
.pdf
. /
Таким образом, |
* |
+. |
|
|
( |
) = (* |
+ * |
+). |
|
Нетрудно показать, |
что данный исход является равновесным, ведь в ответ на |
любая |
||
стратегия второго игрока дает один и тот же выигрыш, значит все они – лучший ответ на
|
, как и любое их смешение. |
Это значит, что |
является лучшим ответом на . |
||||||
Аналогично и для первого игрока. |
|
|
|||||||
Рассмотрим другую матричную игру 3х3. |
|
||||||||
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
E |
F |
|
|
(1) |
(2) |
|
|
|
|
|
||||||
|
A |
0; 1 |
4; 1 |
4; |
|
0 |
p |
0 |
|
I |
B |
3; 2 |
3; 0 |
5; |
|
-1 |
1-p |
p |
|
|
C |
3; 0 |
1; 4 |
2; |
|
3 |
0 |
1-p |
|
|
|
q |
1-q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если применить такой же подход, как в предыдущем случае, т.е. посмотреть, какое смешение стратегий первым игроком будет давать одинаковые выигрыши от чистых стратегий для второго игрока, то можно обнаружить, что такого смешения нет. Такая ситуация возникает из-за того, что стратегия F не является лучшим ответом ни на одно из действий первого игрока.
( )
РНЧС в данной игре: (B; D), (A; E).
Найдем множество равновесий и в смешанных стратегиях тоже.
Для этого сначала посмотрим, где располагается лучший ответ первого игрока при разных вероятностях игры стратегии D вторым игроком (при этом известно, что второй игрок будет играть F с нулевой вероятностью). Запишем лучший ответ первого игрока и нарисуем его.
, |
( |
)- |
( |
) |
, |
( |
)- |
( |
) |
, |
( |
)- |
( |
) |
M [ ]
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
0 |
1/4 |
1/2 |
1 |
q |
||||||||
Видно, что при |
|
первый игрок будет выбирать A; |
||||||||||
|
||||||||||||
При |
|
|
|
|
– смешивать A и B; |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
При |
( |
|
|
|
) – выбирать B; |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
При |
|
|
|
|
|
– смешивать B и C. |
|
|||||
Случаи чистых равновесий мы уже рассмотрели, выяснили, что (B; D), (A; E) – равновесия в чистых стратегиях. Осталось рассмотреть потенциальные смешения первого игрока, являющиеся лучшими ответами.
, ( )- , ( )-
На графике лучших ответов видно, что в точке |
|
стратегия C сыграна не будет, |
||||
|
||||||
следовательно, |
* |
+ (1). |
|
|
||
При |
|
выигрыши при выборе стратегий A и B одинаковые (видно на графике лучших |
||||
|
||||||
ответов), значит, обе стратегии – лучший ответ, как и их смешение. Теперь нужно найти
среди всех этих смешений такое, чтобы |
|
тоже было лучшим ответом. В этом случае |
||||
|
||||||
стратегии D и E должны вести к одинаковому выигрышу: |
||||||
, |
( |
)- |
( |
) |
|
|
, |
( |
)- |
( |
) |
|
|
, ( |
)- |
, ( |
)- |
Если нарисовать график лучших ответов в осях p и q для смешений {A,B} и {D,E}
соответственно при |
|
, |
|
, то получим следующее множество равновесий: |
|||||||
|
|
||||||||||
( |
* |
|
+) |
, |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
, |
( |
)- |
, |
( |
)- |
|
|
|
|
||
На графике лучших ответов видно, что в точке |
стратегия A сыграна не будет, |
||||||||||
следовательно, |
* |
|
|
|
|
+ (2). Чтобы исход такого вида был равновесным, |
|||||
необходимо, |
чтобы |
|
нашлось |
|
такое p, при котором |
и |
( ), т.е. чтобы |
||||
ожидаемый выигрыш при выборе стратегии D был больше, чем выигрыш в результате |
|||||||||||
выбора стратегии E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
, |
( |
)- |
|
|
( |
) |
|
|
|||
, |
( |
)- |
|
|
( |
) |
|
|
|||
, |
( |
)- |
, |
( |
)- |
|
|
|
|
||
Отсюда (* |
+ ) |
, |
|
- – тоже РНСС. |
|
Множество равновесий в такой игре будет следующим: РНЧС:
(B; D), (A; E);
РНСС:
(1) |
( * |
|
+) |
, |
|
|
|
- (содержит (A; E)); |
|
|
|||||||
(2) |
(* |
|
+ ) |
, |
|
|
|
- (содержит (B; D)). |
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим другой пример: |
|
|||||||
|
|
D |
E |
(1) |
|
|
|
(2) |
|
A |
7; 5 |
3; 0 |
0 |
|
|
|
p |
I |
B |
6; 2 |
4; 2 |
p |
1-p |
|||
|
C |
2; 1 |
6; 3 |
1-p |
0 |
|||
|
|
q |
1-q |
|
|
|
|
|
РНЧС здесь: (A; D), (C; E).
Для того чтобы найти множество равновесий в смешанных стратегиях, построим лучший ответ первого игрока при разных вероятностях игры соперником стратегии D.
, |
( |
)- |
( |
) |
, |
( |
)- |
( |
) |
, |
( |
)- |
( |
) |
M [ ]
7 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1/3 |
1/2 |
1 |
q |
|||||
При |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При |
|
|
|
|
|
любое смешение B и C; |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
При |
, |
|
|
|
|
- |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При |
|
|
|
|
|
любое смешение A и B; |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
При |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Случаи равновесий, когда первый игрок выбирает чистые стратегии уже были рассмотрены, рассмотрим случаи, когда первый игрок в качестве лучших ответов выбирает смешения:
* |
+ |
|
( ) |
|
, |
( |
)- |
, ( |
)- |
На графике лучших ответов видно, что в точке |
|
стратегия A сыграна не будет, |
||||||
|
||||||||
следовательно, |
* |
+ (1). |
Исход такого |
вида |
будет равновесным, если |
|||
|
|
будет лучшим ответом на |
* |
+ при неком |
. Найдем , при котором это |
|||
|
|
|||||||
будет так, т.е. когда обе стратегии второго игрока будут давать одинаковый выигрыш, а значит и любое их смешение будет лучшим ответом.
p: |
, ( |
)- |
, ( |
)- |
, |
( |
)- |
( |
) |
, |
( |
)- |
( |
) |
,-
, -
( ) |
|
( ) |
{ |
|
{
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
РНСС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РНЧС (C; E) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
РН: ( |
) ( |
* |
|
+). |
|
|
|
|
|
|||
|
При |
|
|
|
|
первый игрок перестанет выбирать B, поэтому |
, |
|
|
|
-. |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Аналогично для смешения A и B: |
|
|
|
|
|
|||||||
* |
+ |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, |
( |
)- |
, ( |
)- |
|
|
|
|
|
||||
На графике лучших |
ответов видно, что в точке |
|
стратегия C сыграна не будет, |
|||||
|
||||||||
следовательно, |
|
* |
|
+ (2). |
|
|
||
p: |
, ( |
)- |
, |
( |
|
)- |
|
|
, |
( |
)- |
|
|
( |
) |
|
|
, |
( |
)- |
|
|
( |
) |
|
|
,-
, -
( ) |
|
( ) |
{ |
|
{
q
1
1/2
0
РНЧС (A; D)
РНСС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
РН: ( ) ( * |
+) при |
, |
|
|
|
-. |
|
|
|
||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
РНЧС: (A; D), (C; E); |
|
|
|
|
|
|
|
РНСС: ( * |
+) при |
, |
|
|
|
]. |
|
|