ЛЕКЦИЯ 02_Л.А

Общее решение системы представим в следующем виде:

▲ Для полученного выражения выполните то же упражнение, что и в конце примера 3).

Дополнительно проверьте, что векторы, линейная оболочка которых выражает множество решений приведенной системы, линейно независимы.

Верно ли, что линейная комбинация частных решений приведенной системы (и

всякой вообще однородной системы линейных уравнений) также является ее решением?

a2). 6 (столбец свободных членов переместился в зону A )

Здесь по-прежнему Rg S( A) 2 , но уже Rg S ( A B) 3 , так что система не имеет

решений29.

29 Формальным признаком чего является, как неоднократно указывалось выше, строка в преобразованной расширенной матрице, в которой в зоне A стоят все нули, а в зоне свободных членов число, отличное от нуля (здесь это 6 ).

Л Е К Ц И Я 1

Теперь Rg S( A) Rg S ( A B) 3 , система уравнений совместна, но ее общее реше-

ние зависит уже от одного свободного параметра:

Полагая x4 C , находим x3 32 x4 32 C , x2 2 , x1 1 12 x4

1 12 C и окончательно записываем решение системы в виде

▲ Придавая переменным , какие-либо из допустимых в пункте b) значений, убедитесь,

что и здесь во всех случаях первое слагаемое в выписанной сумме есть частное решение

Л Е К Ц И Я 1

заданной системы линейных уравнений, а второе содержит все решения приведенной сис-

темы.

Зависимость решения данной системы линейных уравнений от параметров иллюстрируется схемой

РЕЗЮМЕ

Главным итогом и руководством к практическим действиям по материалам

Лекций 1,2 является осознание плодотворности техники исключения (диагонализации),

которая оказывается эффективной для широкого круга задач линейной алгебры, таких как обращение матриц, установление линейной зависимости (независимости) систем векто-

ров, отыскание их баз, рангов и разложений по базам не вошедших в них векторов, вычис-

ление размерностей соответствующих линейных оболочек, решение произвольных систем линейных уравнений.

Мы сталкиваемся здесь в очень яркой форме с тем феноменом, который в матема-

тике принято характеризовать словами «уравнения умнее нас». Поистине удивительно,

что элементарные арифметические действия, подчиненные ключевой схеме исключения

Л Е К Ц И Я 1

(обнуления) определенных элементов некоторой матрицы, позволяют отвечать на многие и совсем не простые вопросы, а именно: дают возможность установить обратимость инте-

ресующей квадратной матрицы и вычислить обратную матрицу, найти максимальную ли-

нейно независимую подсистему в заданной системе векторов (базис ее линейной оболоч-

ки) и вскрывают структуру решения линейной системы уравнений общего вида.

Коротко говоря,

Ай да ГАУСС !!!

=======================================================================

Краткая биографическая справка

■ Гаусс Карл Фридрих (1777–1855 г.г.) – крупнейший немецкий математик, внесший фундаментальный вклад в такие отрасли знаний, как алгебра, теория чисел, дифференциальная геометрия, теория тяготения и электромагнетизма, геодезия, астрономия. Отличительная черта творчества Гаусса – органическая связь между теорией и прикладными задачами, необычайная широта мировоззрения и научной проблематики.

■Жордан Мари Энмон Камиль (1838–1922 г.г.) – выдающийся французский математик.

■Капелли Альфредо (1855–1910 г.г.) – итальянский математик.

Л Е К Ц И Я 1