ЛЕКЦИЯ 02_Л.А

Л Е К Ц И Я 1

Поскольку операции над векторами выполняются поэлементно, можем записать следующую систему уравнений, эквивалентную равенству (2.6)’:

Введенная в Лекции 1 операция умножения матриц позволяет ввести равносильную соотношениям (2.6), (2.6)’, (2.6)’’ матричную форму рассматриваемого уравнения

нейных уравнения относительно 3 х неизвестных x1 , x2 , x3 ;

x1

►X (3 1) x2 вектор-столбец этих неизвестных;

x3

14 В дальнейшем изложении будем в основном придерживаться традиционных соглашений относительно записи подобных формул. В соответствии с этими соглашениями множитель «1» на письме отсутствует, равно как и слагаемые с нулевыми коэффициентами, а сложение со знаком « » есть вычитание.

Л Е К Ц И Я 1

Уравнение (2.6)’’’ является обобщением скалярного линейного уравнения ax b , изучавшегося в элементарной математике15. Одной из главных целей всего предшествующего изложения являлась подготовка почвы для восприятия такого обобщения и создание средств его дальнейшего анализа.

 В целом ряде задач линейной алгебры, примеры решения которых будут даны ниже, исследование системы линейных уравнений, или равносильного ей матричного уравнения

(2.6), (2.6)’ показывают, что дело сводится к выяснению существования и нахождению коэффициентов этого разложения, в роли которых выступают неизвестные x1 xn .

Конкретнее, можем утверждать, что система линейных уравнений AX B , равносильная форма которой есть x1a 1 xn a n B , совместна, то есть имеет решение вида

X (x1 xn )T 16, если найдутся числа x1 xn , удовлетворяющие этому равенству при за-

данных матрицах A, B . Это означает, что столбец свободных членов разложим по системе

15Данный лекционный курс призван показать, что это обобщение принадлежит к числу тех, которые принято называть «далеко идущими».

16Как и в элементарной математике, слова «решение» и «хотя бы одно решение» в этой фразе и ей подобных употребляются как равнозначные.

ЛЕ К Ц И Я 1

случае столбец B неразложим по векторам a j , j 1, n , так что линейная система AX B

несовместна.

На основании критерия линейной зависимости системы векторов, можем утверждать, что в случае, когда система линейных уравнений AX B имеет решение, система векторов {a 1 , , a n ; B} линейно зависима (означает ли несовместность линейной сис-

темы линейную независимость этой системы векторов?).

Линейные системы общего вида и свойства их решений подробно изучаются в следующих лекциях, а пока плотнее займемся частной задачей (2.6)’’.

МЕТОД ГАУССА

Данный метод представляет собой воплощение ключевых идей, выработанных в линейной алгебре для решения произвольных систем линейных уравнений. В его основе лежит алгоритм, уже использовавшийся ранее при отыскании обратных матриц. Применительно к решению линейных систем он носит название преобразования Гаусса-Жордана и состоит в переходе от исходной системы уравнений к равносильной системе, почти так же легко разрешимой относительно неизвестных, как в одномерном случае. Цель преобразования – по возможности сделать так, чтобы каждая из неизвестных компонент вектора X содержалась лишь в одном из уравнений преобразованной системы, а остальные неизвестные были из него исключены. В связи с этим метод Гаусса часто называют методом последовательного исключения неизвестных. Таким образом, метод идейно весьма бли-

зок к простейшим приемам решения систем уравнений в элементарной математике. Практическая реализация приведенных выше соображений опирается на следую-

щее утверждение, также хорошо известное из курса элементарной математики.

Система уравнений переходит в равносильную систему, если в ней:

I. поменять местами два уравнения;

(2.7) II. умножить уравнение на число, не равное нулю;

III. сложить уравнение с некоторым другим уравнением, умноженным на любое число (докажите).

Л Е К Ц И Я 1

 Нетрудно понять, что в ходе решения линейной системы AX B преобразования (2.7), в терминах матричной алгебры – это не что иное, как элементарные преобразования строк матрицы ( A B) (m (n 1)) , которая называется расширенной матрицей системы.

► Заметим, что если при выполнении описанных действий в преобразуемой матрице

( A B) возникает строка из нулей, то это означает, что в данный момент в системе есть уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных и его правая часть – нули. Поскольку оно удовлетворяется при любых значениях неизвестных, то его отбрасывание не меняет множества решений исходной системы. В соответствии с этим можно отбрасы-

вать нулевые строки при их появлении в преобразуемой матрице ( A B) 17.

► Далее, появление в процессе преобразований в матрице ( A B) строки, все числа в ко-

торой, кроме последнего, равны нулю, равнозначно получению в преобразованной системе уравнения, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а его правая часть отлична от нуля. Поскольку оно не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных, то это будет означать, что преобразованная, а тогда и равносильная ей исходная система уравнений несовместна. Пример такой системы дает несовместное линейное уравнение 0 x 1 относительно одного скалярного неизвестного x .

Теперь нужно ответить на вопрос о том, как конкретно исключать неизвестные из уравнений заданной линейной системы и к какому именно упрощенному виду следует ее свести, чтобы найти решение.

Очевидно, исключение неизвестного означает обращение в нуль коэффициента при нем в уравнениях системы, то есть обнуление соответствующих элементов матрицы ( A B) . С учетом предшествующего опыта использования элементарных преобразований при обращении матриц станем добиваться такого вида зоны A в расширенной матрице ( A B) , к которому прежде стремились в процессе вычислении обратной матрицы.

А именно, будем последовательно заполнять единицами позиции Ä ii , i 1, n , об-

нуляя все лежащие под ними позиции. Если представить себе, что в зоне A в итоге преобразований получится квадратная матрица порядка, равного числу неизвестных с единица-

17 Такое отбрасывание не является обязательным и традиционно выполняется лишь в целях экономии письма. В ряде случаев нагляднее не делать отбрасывания, перемещая нулевые строки на последние места в преобразованной расширенной матрице системы.

Л Е К Ц И Я 1

ми на главной диагонали и нулями под ней, то исключение неизвестных прошло «идеально». Действительно, эта картина соответствует тому, что левая часть последнего уравне-

Теперь легко вычислить искомые значения неизвестных, двигаясь от последнего уравнения к первому и используя на очередном шаге значения уже найденных к этому моменту неизвестных. Все они в совокупности образуют единственное решение X исходной системы уравнений AX B .

Можно пойти в процессе исключения дальше, продолжив до начала вычисления xn x1 преобразование получившейся в зоне A верхнетреугольной матрицы в единичную матрицу En по известному алгоритму. Складывая последнюю строку расширенной матри-

цы, умножаемую на подходящие числа, с вышележащими строками, нужно обратить в них все элементы последнего столбца зоны A в нули. Далее следует складывать со всеми вышележащими строками предпоследнюю, умножаемую на нужные числа, чтобы получить нули над предпоследней единицей предпоследнего столбца зоны A .

Аналогичные действия можно беспрепятственно продолжить вплоть до превращения этой зоны в En . Тогда совокупность всех выполненных преобразований расширенной матрицы ( A B) будет эквивалентна исключению из первого уравнения системы AX B

всех неизвестных, кроме x1 , из второго – всех неизвестных, кроме x2 и так далее вплоть до последнего уравнения, в котором останется только xn .

В этом случае становится еще более очевидно, что система совместна, имеет единственное решение X , компоненты которого – это числа в преобразованной зоне B .

Описанная только что ситуация иногда принципиально неосуществима. Например, она не может возникнуть при решении системы из одного уравнения относительно нескольких неизвестных. Поэтому в общем случае, когда в конце преобразований зона A – необязательно квадратная, будем требовать только, чтобы диагональ из единиц, состоящая из элементов зоны A с одинаковыми индексами, закончилась в последней ненулевой строке преобразованной матрицы ( A B) . Конечно, такому ослабленному ограничению удов-

летворяет и рассмотренный выше идеальный случай.

Л Е К Ц И Я 1

Тогда для любой системы AX B , A O(m n) возможны только два исхода про-

цедуры исключения неизвестных, доведенной до формирования единиц на диагональных местах всех строк в преобразованной матрице ( A B) и нулей под этой диагональю, если раньше не будет установлена несовместность системы.

Совокупность действий, итог которой схематически изображен ниже, соответству-

ет так называемому прямому ходу метода Гаусса.

Описанная выше процедура последовательного вычисления неизвестных xn x1

называется обратным ходом метода Гаусса.

Как уже было сказано, в первом случае решение системы AX B единственно.

Во втором случае система имеет бесконечно много решений, зависящих от n r

свободных параметров, где 1 r n 1. Роль таких параметров могут играть последние

ЛЕ К Ц И Я 1

Итак, система (2.6)’’ имеет единственное решение X (3 1) . Единственность

следует из того, что в конце прямого хода метода Гаусса получился случай (2.8) с треугольной зоной A . Следовательно, только тривиальная линейная комбинация векторов a1 , a2 , a3 может быть равна нуль-вектору. По определению это означает, что система век-

торов {a1 , a2 , a3 } линейно независима.

Действуем, как и в первом примере, только теперь исследуемая на равенство нульвектору линейная комбинация векторов системы содержит 4 коэффициента x1 x4 :

Положим x4 C , где С параметр, принимающий произвольные вещественные значения. Перенося слагаемые с x4 в правые (здесь – нулевые) части уравнений системы, находим:

x3 11C ;

Л Е К Ц И Я 1

Компоненты любого из векторов в множестве (2.9) при C 0 это коэффициенты нетривиальной линейной комбинации заданных векторов ai , i 1, 4 , равной нуль-вектору(4 1) . Например, при C 1 имеем 8a1 7a2 11a3 a4 .

Таким образом, система векторов {ai }, i 1, 4 линейно зависима.

Замечания

1). Как и при обращении матриц, доведению прямого хода метода Гаусса до упрощенных форм (2.8), (2.8)’ будет препятствовать нулевой блок размеров (m k) (k 1) , который может возникнуть в левом нижнем углу зоны A после формирования единицы на диагональной позиции в текущей k й строке. Эту трудность можно обойти при помощи перестановки столбцов в зоне A . Она соответствует тому, что во всех уравнениях системы AX B меняются местами слагаемые с некоторыми двумя неизвестными. В силу коммутативности числового сложения такое преобразование системы является равносильным.

 Другие элементарные преобразования столбцов в матрице ( A B) запрещены, посколь-

ку они изменяют смысл неизвестных, коэффициентами при которых служат элементы этих столбцов.

Для контроля перестановок столбцов в зоне A преобразуемой расширенной матрицы сверху над ней изображают разметочную строку, как это показано в следующем примере.

В данном случае необходимость перестановки столбцов связана с тем, что преобразования второй и третьей строк не могут дать отличных от нуля чисел на диагональных позициях с индексами (2, 2) , (3,3) .

Л Е К Ц И Я 1