Kolok_po_diskre
.pdfВопросы на знание определений.
1. Принцип математической индукции. Если некоторое утверждение A(n), зависящее от натурального параметра n, верно для n = 1 и для любого n верно утверждение «если A(n) верно, то и A(n + 1) верно», то утверждение A(n) верно при любом n.
2. Формулы суммы и произведения. Задачи о подсчете путей.
Формула суммы. Если есть несколько перечислительных задач со взаимно исключающими вариантами, то общее количество способов выбрать вариант для одной из задач равно сумме числа вариантов для каждой задачи.
Формула произведения. Если есть несколько перечислительных задач, то общее количество способов выбрать вариант для каждой из задач равно произведению числа вариантов для каждой задачи.
Количество монотонных путей из (0, 0) в (a, b) равен (a+a b) .
3. Конечные слова в алфавите. Соответствие между двоичными словами, подмножествами множества и характеристическими функциями.
Слово в алфавите А — это последовательность символов из этого алфавита.
В алфавите из символов слов длинны k существует ровно nk . Если n = 2 то слова называют двоичными(а алфавит состоит из 0 и 1).
Двоичных слов длинны k ровно 2k . Оказывается, столько же есть подмножеств в k-элементном множестве.
4. Треугольник Паскаля. Рекуррентное соотношение.
Ну все итак знают как выглядит Треугольник Паскаля.
(kn)=(n−k |
1)+(kn−−11) Кароче вот такая вот формула есть. |
(1) |
Почему это равенство всегда верно? Есть простое комбинаторное рассуждение. Выделим среди n объектов один, назовем его нулем. Подмножества из k элементов разбиваются на две группы: не содержащие 0 и содержащие 0. Первых столько же, сколько k-элементных
подмножеств в (n - 1)-элементном множестве, т.е. (n−k 1) .
А вторых столько же, сколько (k−1)-элементных подмножества в (n − 1)- элементном множестве, т.е. (kn−−11)
Из формулы суммы получаем равенство (1).
Есть и другой, алгебраический, способ получить равенство (1). Нужно записать равенство
(1+ x)n=(1+ x)(n−1)(1+ x)
и раскрыть скобки в левой и правой частях. При каждой степени получаться в точности равенства (1).
Равенства (1) называются рекуррентными соотношениями. Они выражают некоторые числа в числовой последовательности (в данном случае с двумя индексами) через числа в тойже последовательности, но с меньшими значениями. Это позволяет определить всю последовательность, если добавить начальные условия. Например, положить
(n0)=1 (nn)=1
5. Числа Фибоначчи: определение, примеры перечислительных задач, в которых ответ выражается через числа Фибоначчи.
Последовательность чисел Фибоначчи определяется рекурентно:
F 1=F2=1 ; F(n+2)=F(n+1)+F n .
Начало последовательности выглядит так: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Ну и кароче много задач которые с помощью чисел Фибоначчи решаются.
6. Множества и логика.
Неформально, множество — это совокупность каких-то элементов и полностью определяется своими элементами.
Равенство множеств A = B это утверждение, которое означает, что множества состоят из одних и тех же элементов. Более подробно: любой элемент множества A принадлежит множеству B и любой элемент множества B принадлежит множеству A.
Эти два условия естественно разделить. Получим отношение включения между множествами. Если любой элемент множества A принадлежит множеству B, то множество A называется подмножеством множества B, обозначение A B.
Равенство множеств и включение напоминают равенство чисел и сравнение чисел по величине и обладают похожими свойствами.
Есть уникальное множество — пустое, — которое не содержит никаких элементов. Обозначение .
Количество элементов в множестве A, если оно конечно, будем обозначать |A| и называть мощностью множества.
7. Множества, теоретико-множественные операции, их свойства.
На множествах определено большое количество операций, самые важные
из которых мы сейчас перечислим. |
|
|
Объединение множеств. Обозначение |
A B |
. Это множество, состоящее |
в точности из всех элементов множеств A и B. |
|
|
Пересечение множеств. Обозначение |
A∩B |
. Это множество, состоящее |
в точности из тех элементов, которые принадлежат обоим множествам A и B. Разность множеств. Обозначение A B . Это множество, состоящее в
точности из тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B.
Симметрическая разность множеств. Обозначение A B . Это множество, состоящее в точности из тех элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств: либо A, либо B.
Есть графический способ иллюстрировать операции с множествами: круги Венна. На паре кругов легко нарисовать объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств.
Декартово произведение множеств. Обозначение A × B. Это множество, состоящее из всех последовательностей длины 2 вида
(a, b), где a A, b B.
Формулу произведения можно выразить через декартово произведение так: |A × B| = |A| · |B|.
Декартова степень множества. Обозначение An . Это множество, состоящее из всех последовательностей длины n, каждый член которых принадлежит множеству A.
Ну еще там есть очевидные тождества. Но они очевидные.
8. Логические значения и логические связки. Задание булевых функций таблицами истинности.
Заметим, что значение каждой формулы с множествами задается фактически таблицей, в которой для каждого набора вариантов вхождений элемента в множество указано, принадлежит ли данный элемент множествурезультату.
Есть 4 основные логические функции:
-отрицание;
-конъюнкция(пересечение); -дизъюнкция(объединение);
-сумма по модулю 2, она же XOR, она же «исключающее ИЛИ».
Вот так выглядит таблица истинности:
x |
y |
x y |
x y |
x→ y |
x y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Законы де Моргана:
(x y )=x y ,
(x y )=x y .
Полезное тождество:
x→ y= y→ x .
9. Формула включений–исключений. Примеры использования.
Теперь вернемся к перечислительной комбинаторике. Наша цель — обобщить формулу суммы. В теоретико-множественных обозначениях эта формула утверждает
|A B| = |A| + |B|, если A ∩ B = . Если пересечение непусто то верна следующая формула:
|A B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Теперь мы рассматриваем случай из 3 множеств, думаем что бы это всё могло значить и понимаем что формула выглядит так:
|
A A ... A =Σ A − Σ A ∩A |
+...= |
Σ |
(−1) I +1 Λ A |
|
1 2 |
n i i i < j i |
j |
≠I (1,2,... , n) |
i I i . (1) |
|
Эту формулу можно доказать по индукции, а можно и без. Рассмотрим второе доказательство:
Формула (1) очень похожа на обычное алгебраическое тождество
1 − (1 − x1)(1 − x2)...(1 − xn) = x1 + x2 + ··· + xn − x1x2 − ··· + x1x2x3 + ... (2) И это неслучайно. Введем индикаторную (или характеристическую)
функцию множества.
Для множества A по определению χA(x) = 1, если x A, и χA(x) = 0, если x / A. Мощность множества легко выражается как сумма индиктора по всему универсуму (мы считаем, что все множества лежат в одном универсуме):
A =Σχ A(u) |
. |
u |
Теперь заметим, что индикаторная функция для дополнения множества (т.е. разности универсума и множества) равна (1 − χA), для пересечения
множеств это просто произведение индикаторных функций этих множеств. А индикторная функция для объединения Ai выражается как
χA = 1 − (1 − χA1)(1 − χA2). . .(1 − χAn) (3)
(используем закон де Моргана и выражаем дополнение к объединению как пересечение дополнений). Теперь заменим правую часть (3) на правую часть (2), произведения индикаторных функций — на индикаторные функции пересечений и просуммируем по универсуму.
10. Бинарные отношения.
Вообще не очень понимаю что тут нужно говорить(
11. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности.
Отношение на некотором множестве, которое одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно, называют отношением эквивалентности.
Теорема 1. Любое отношение R, являющееся отношением эквивалентности на множестве A, делит A на классы эквивалентности — непересекающиеся подмножества множества X, при этом любые два элемента
одного класса находятся в отношении R, а любые два элемента разных классов не находятся в отношении R.
Доказательство. Пожалуй, тут сложнее понять, что тут вообще надо доказывать (и почему это не очевидно), чем доказать — но в качестве образца проведём подробно формальное рассуждение.
Для каждого x A рассмотрим множество тех y, для которых верно R(x, y). Обозначим его через [x]. Его можно было бы назвать «классом
эквивалентности элемента x» — собственно говоря, так его и называют, но само по себе это название не гарантирует разбиения на классы, это ещё надо доказывать. А именно, надо доказать, что
•объединение всех множеств вида [x] совпадает с множеством A;
•два множества [x] и [y] либо не пересекаются, либо совпадают;
•наконец, надо ещё доказать, что [x] = [y] в том и только том случае, когда R(x, y), то есть R совпадает с отношением «принадлежать одному классу».
Как это доказать?
(1)В силу рефлексивности множество [x] содержит x в качестве своего элемента: x [x], поскольку R(x, x). Отсюда следует, что объединение всех этих множеств совпадает с A. (Выйти за пределы A они не могут, так как мы рассматриваем отношение на множестве A и элементы множества A.)
(2)Пусть для двух элементов x, y A их классы [x] и [y] пересеклись. Это означает, что есть такой z A, что R(x, z) и R(y, z). Симметричность даёт R(z, y), после чего мы применяем транзитивность к R(x, z) и R(z, y) и заключаем, что R(x, y). Выведем отсюда, что [x] = [y]. В самом деле, если произвольный элемент t принадлежит [y], то R(y, t). Вспоминая, что R(x, y)и применяя транзитивность, получаем R(x, t), то есть t [x]. Мы доказали, таким образом, что [y] [x]. Аналогично доказывется, что [x] [y], так что [x] = [y].
(3)Если для каких-то x, y верно R(x, y), то x и y оба лежат в одном классе, а именно, в [x]. Обратно, если x и y лежат в каком-то [z], то по определению имеем R(z, x) и R(z, y), симметричность даёт R(x, z) и после этого транзитивность даёт R(x, y).
12. Функции. Образы и прообразы множеств. Обратная функция.
Школьное определение:
Функция f — это когда каждому элементу x из некоторого множества, области определения функции, поставлен в соответствие какой-то элемент f(x) другого множества, области значений, причём только один.
Альтернативное определение:
F — функция, если для любых x A и y1, y2 B с хотя бы одна из пар (x, y1) и (x, y2) не лежит в F.
13. Виды функций: инъекции, сюръекции и биекции.
Функция f : A → B называется инъекцией, если её значения в различных точках различны, то есть разным элементам из A ставятся в соответствие разные элементы B. Иначе говоря, f — инъекция, если f(x1) = f(x2) влечет
x1 = x2. (Переформулировка: если влечёт .
Функция f : A → B называется сюръекцией, если её область значений совпадает со всем множеством B, то есть если для всякого элемента y B найдётся элемент x A, для которого f(x) = y.
Функция f : A → B называется биекцией, если она одновременно является и инъекцией, и сюръекцией. Другими словами, функция является биекцией, если всякому элементу из B соответствует ровно один элемент из A.
14. Композиция отношений, ее свойства.
Формальное определение композиции выглядит так. Пусть даны два отношения R A × B и S B × C. Их композицией называется отношение S ◦ RA × C, определяемое
так:
(x, z) S ◦ R существует такой y B, что (x, y) R и (y, z) S.
15. Определение частичного порядка. Примеры частичных порядков.
Отношения порядка возникают, когда мы хотим сравнивать элементы множеств. При этом мы ожидаем от результатов сравнения свойств, похожих на свойства сравнения чисел по величине.
Назовём транзитивное и антирефлексивное отношение отношением строгого частичного порядка. (Например покоординатное сравнение векторов) Отношение частичного порядка получается из отношения строгого
частичного порядка.
{ a≤a , рефлексивность ; Свойствачастичного порядка : если(a≤b)и(b≤a), то a=b , антисимметричность ;
(a≤b)и(b≤c)влечет a≤c , транзитивность.
16. Изоморфизм порядков. Примеры.
Порядки P и Q называются изоморфными, если есть такая биекция ϕ: P → Q, что x≤y равносильно ϕ( X )≤ϕ( y) для всех пар x, y.
Чтобы установить изоморфизм порядков достаточно указать такую биекцию.
17. Минимальные и максимальные элементы в частичных порядках.
Наибольшие и наименьшие элементы. Есть близкие понятия наибольшего и наименьшего элементов, которые нужно не путать с максимальными и минимальным элементами. Наименьший элемент меньше всех других элементов в порядке, наибольший — больше всех других. Для линейных порядков эти понятия совпадают. В общем случае это не так.
18. Бесконечно убывающие цепи. Фундированные множества.
Ну что такое бесконечно убывающая цепь? Это цепь которая бесконечно убывает.
Фундирование множество. Есть 3 определения фундированного множества, и все они эквивалентны.
1.Каждое непустое подмножество имеет минимальный элемент. 2.Нет бесконечно убывающих цепей.
3.Для порядка P справедлив принцип индукции: если для утверждения A(p), зависящего от элемента порядка, для любого p верно утверждение «если A(q) верно при всех q < p, то и A(p) верно». Тогда утверждение A(p) верно при любом p P.
Ну и надо как бы уметь доказывать их эквивалентность.
19. Принцип математической индукции для фундированных множеств.
Для порядка P справедлив принцип индукции: если для утверждения A(p), зависящего от элемента порядка, для любого p верно утверждение «если A(q) верно при всех q < p, то и A(p) верно». Тогда утверждение A(p) верно при любом p P.
20. Равномощные множества.
Mножество A называется равномощным множеству B, если cуществует биекция множества A в множество B.
Отношение равномощности симметрично: если A равномощном B, то B равномощно A (в самом деле, как мы уже обсуждали, ко всякой биекции есть обратная функция — тоже биекция)
Отношение равномощности рефлексивно: каждое множество равномощно самому себе(в самом деле, тождественная функция, которая отображает каждый элемент какого-то множества A в себя, является биекцией между A и A)
Наконец, отношение равномощности транзитивно: если A равномощно B и B равномощно C, то A равномощно C.
21. Счетные мощности. Свойства, примеры.
Среди бесконечных множеств выделяют так называемые счётные множества. Множество A счётно, если существует биекция между и A.
Самый простой пример счётного множества — это само множество натуральных чисел . В качестве биекции можно взять тождественную функцию: само число и будет своим номером.
Так же = , = .
Вот еще немного лемм и теорем, которые нужно понимать и уметь доказывать:
1.Лемма. Объединение двух счётных множеств счётно.
2.Лемма. Всякое подмножество счётного множества конечно или счетно.
3.Лемма. Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
4.Теорема. Объединение конечного или счетного числа конечных или счётных множеств конечно или счётно.
5.Теорема. Декртово произведение двух счётных множеств A × B счётно.
22. Множества мощности континуум. Свойства, примеры.
Возьмем интервал (0, 1). На нем точек уже больше чем счётно. Будем называть мощность, равную мощности этому интервалу континуум.
Теорема. Если множество А бесконечно, а множество В конечно или счётно, то множество A B равномощно А.
Теорема. Отрезок [0, 1] равномощен множеству бесконечных последовательностей из нулей и единиц ( обозначается 2 )
Теорема. Отрезок [0, 1] равномощен квадрату [0, 1] × [0, 1]. Теорема. Множество бесконечных последовательностей из нулей и
единиц 2 несчётно.
23. Графы. Основные определения.
Неформально граф — это набор точек и линий, соединяющих эти точки. Формальных определений графов много, они задают родственные, но несовпадающие понятия. Нас прежде всего будут интересовать те графы, которые называются простыми неориентированными.
Простой неориентированный граф — это пара множеств (V, E) (множество вершин и множество рёбер), причём
E {{v1, v2} | v1, v2 V, v1≠v2 }.
Каждое ребро {v1, v2} имеет два конца — v1 и v2, которые по определению различны
Полный граф K n |
имеет n вершин и наибольшее возможное множество |
||||
рёбер: любая пара вершин связана в K n |
ребром. |
|
|
||
Вершины пути |
Pn |
можно занумеровать числами от 0 до n − 1 так, |
|||
чтобы ребра соединяли вершины с номерами i, i + 1 при |
0≤i<n |
. Длиной пути |
|||
называется количество рёбер в нём. Путь |
P5 имеет длину 4: такая вот |
||||
особенность терминологии. |
|
|
|
||
Вершины цикла |
Cn |
можно занумеровать числами от 0 до n − 1 так, |
|||
чтобы ребра соединяли вершины с номерами i, i + 1 при |
0≤i<n |
и вершины с |
|||
номерами 0, n − 1.
Степенью вершины d(v) в графе называется количество рёбер, для которых эта вершина является концом.
Лемма. vΣV d (v)=2E , где Е — количество ребер в графе.
Следствие. Количество вершин нечётной степени в графе чётно. Ориентированный граф (или коротко: орграф) — это пара множеств (V,
E), где E V × V , причём среди элементов E нет пар вида (v, v). Графически принято изображать ребро (v1, v2) E как стрелку, ведущую из точки v1 (начало ребра) в точку v2 (конец ребра).
24. Подграфы. Циклы и пути. Клики и независимые множества.
В отличие от множеств для графов есть два разных способа определить подграф. Первый (его мы и будем использовать по умолчанию) состоит в том, что мы выбираем подмножество вершин и какие-то ребра между ними.
Получившийся граф называют подграфом. Второй способ состоит в том, что выбирается подмножество вершин и все ребра графа между этими вершинами. Такой подграф обычно называют индуцированным подграфом. Наконец,
иногда подграфом называют такой граф, у которого сохранены все вершины исходного, а из рёбер оставлено только некоторое подмножество. Такие
подграфы называют рёберными.
Теорема. Граф можно правильно раскрасить в 2 цвета тогда и только тогда, когда в нём нет циклов нечётной длины.
Эйлеров путь в графе — это путь, проходящий по всем ребрам графа и притом только по 1 разу.
Эйлеров цикл — это цикл графа, проходящий через каждое ребро графа ровно по одному разу.
Теорема. В связном графе есть эйлеров цикл тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.
Гамильтонов цикл — простой цикл в графе, содержащий все вершины графа ровно по одному разу.
Клика — подграф, являющийся полным графом.
Независимое множество — множество вершин графа, такое, что любые две вершины в нем несмежны (т. е. не соединены ребром).
25. Отношение достижимости и компоненты связности графа.
На множестве вершин графа определим отношение достижимости: R(x, y) истинно, если из вершины x можно добраться до вершины y, передвигаясь по рёбрам графа. Ясно, что отношение достижимости является отношением эквивалентности. Следовательно, вершины графа разбиваются на классы эквивалентности относительно отношения достижимости. Эти классы эквивалентности называются компонентами связности графа. При этом две вершины лежат в одной компоненте тогда и только тогда, когда из одной можно дойти до другой по рёбрам графа.
Граф называется связным, если в нём только одна компонента связности, то есть если из любой вершины можно пройти в любую, идя по рёбрам.
26. Двудольные графы. Булев куб.
Граф называется двудольным, если множество вершин можно так разбить на пару непересекающихся множеств
V = L R, что E {{v1, v2} | v1 L, v2 R}.
Легко видеть, что двудольные графы – это по существу тот же объект, что и бинарные отношения. Действительно отношению R A×B можно сопоставить граф с множеством вершин A B и множеством рёбер {{a, b} | R(a, b)} и наоборот.
Булевым кубом Qn назовём граф, вершины которого — двоичные слова длины n, а рёбра связывают вершины, которые различаются только в одной позиции (пример: 00101 и 01101).
Теорема. Qn - двудольный.
27. Деревья. Примеры и свойства.
Теорема. В связном графе с n вершинами не меньше n − 1 рёбер. Связный граф с n вершинами и n − 1 ребром называется деревом.
Вершины степени 1 называются висячими. Иногда в дереве выделяют особую вершину — корень. Тогда висячие вершины, отличные от корня, называют листьями.
Теорема. В дереве с хотя бы двумя вершинами есть по крайней мере две вершины степени 1.
В общем случае глубиной корневого дерева называется максимальная длина пути, один из концов которого – корень.
Деревья — это в точности минимально связные графы. Следующие свойства связного графа на n вершинах равносильны:
1)граф — дерево;
2)в графе нет циклов;
3)между любыми двумя различными вершинами графа есть ровно один
путь.
Диаметром графа называется наибольшее расстояние между его вершинами.
28. Основные понятия теории вероятностей. Вероятностное пространство, события. Несовместные события.
Вероятностным пространством называется конечное множество U возможных исходов. На вероятностном пространстве задана функция
Pr : U → [0, 1], такая что |
Σ Pr [ x]=1 |
. Число P r[x] называется |
x U |
вероятностью исхода x U. Событием называется произвольное подмножество
A U. Вероятностью события A называется число |
Pr [ A]= Σ |
Pr [x] |
. |
|
|
x A |
|
||
Лемма. Если A, B U, то Pr [ A B]≤Pr [ A]+Pr [B] |
. Если кроме того A ∩ B |
|||
= , то Pr [ A B]=Pr[ A]+Pr [B] .
События A и B, которые не могут произойти одновременно, то есть для которых A∩B = , называются несовместными. Таким образом вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.
29. Связь между теорией вероятностей и перечислительной комбинаторикой.
Я не очень понимаю какая здесь должна быть связь, но судя по лекции, связь это то что в теории вероятности тоже есть формула включений и исключений.
В равновозможной модели для произвольных множеств A1,..., An U
верно
Pr [ A1 A2 ... An ]=Σ Pr[ Ai ]− Σ Pr [ Ai∩A j ]+...= |
Σ |
(−1) I +1 Pr |
Λ Ai |
] . |
|
i |
i < j |
≠I (1,2,... , n) |
|
[i I |
|
Для всякой вероятностной модели и для произвольных множеств A1, . . . , An U верно
Pr [ A1 A2 ... An ]=Σ Pr[ Ai ]− Σ Pr [ Ai∩A j ]+...= |
Σ |
(−1) I +1 Pr |
Λ Ai |
] . |
|
i |
i < j |
≠I (1,2,... , n) |
|
[i I |
|
30. Вероятностные доказательства существования в комбинаторике.