Лекция. Элементы Векторной Алгебры

Компланарные векторы.

•О. Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на

параллельных плоскостях.

Теорема. Пусть e̅1, e̅2 , e̅3–три некомпланарных

вектора. Тогда любой вектор a̅ пространства

единственным образом представляется в виде:

aa1e1 a2e2 a3e3

•где a1, a2, a3 - однозначно определенные числа.

•О. Линейно независимая система векторов называется базисом, если любой вектор единственным образом представляется в виде

линейной комбинации этих векторов.

•Пример 2. Векторы e̅1=(1,0,...,0), ..., e̅n=(0,...,0,1) образуют базис Rn.

•Пусть x̅=(x1,... xn ) , т.е.

§7. Линейные отображения (операторы) векторного

пространства и матрицы.

О. Говорят, что в векторном пространстве V

задано отображение (оператор) φA, если каждому вектору x̅€V поставлен в соответствие определенный вектор φA(x̅)€V.

Пример 1. V =R2. φA – поворот вокруг начала

координат на угол φ против часовой стрелки.

•О. Отображение φA называется линейным,

если для любых двух векторов x̅ и y̅ из V и

произвольного числа α:

•1) φA(x̅+y̅)= φA(x̅)+ φA (y̅ ),

•2) φA(αx̅)= α φA (x̅).

•Пример 2. φA x̅=x̅ - тождественное

отображение.

•3. φA x̅=5x̅

О.Матрица линейного отображения φA: Rn→ Rn.

Вектор φA(e̅i) € Rn . Разложим его по базису :

•φA(e̅i) = a1ie̅1+... +anie̅n =(a1i, a2i,..., ani)

•Возьмем матрицу А, i-ый столбец которой

образован коэффициентами разложения

вектора φA(e̅i) по базису e̅1,...,e̅n.

•Пример 4. Пусть A- поворот всех векторов обычной плоскости Oxy вокруг начала

координат на угол φ против часовой

стрелки. Пусть базисные векторы e̅1 =(1,0), e̅2 =(0,1). Тогда

•φAe̅1 =(cos φ)e1 + (sin φ)e2.

•φAe̅2 =(-sin φ)e1 + (cos φ)e2. =>