Лекция. Элементы Векторной Алгебры

Искомое уравнение.

Пример.

•Составить уравнение прямой, проходящей

через точки M1(3,1) и M2(7,2).

4( y 1) x 3, 4 y x 1,

x 4 y 1 0 ответ.

П4. Общее уравнение прямой.

•Ax+By+C=0 (A2+B2≠0).

•C=0, если т.(0,0) лежит на прямой.

•Ax+By=0- прямая П.

Пусть M=(x,y)€П (М - любая точка прямой П).

• => вектор N̅ =(A,B) перпендикулярен O̅M.

Он называется нормалью к прямой.

Условие параллельности прямых.

•Т. П1 || П2 :  α1= α2 .=> k1= k2 .

•Условие перпендикулярности прямых.

•φ= π/2, ctg(π/2)=0.

•ctg φ = (1+ k1k2)/(k2 – k1)=0 => 1+ k1k2=0.

Теорема. П1 П2 k2 1 k1

§4. Угол между прямыми. Условия

параллельности и перпендикулярности

прямых (в терминах коэффициентов общего уравнения прямой).

•Даны две прямые:

•П1 : A1x+B1y+C1=0, П2 : A2x+B2y+C2=0.

•Нормали к ним:

• Угол между прямыми равен углу между

нормалями к ним =>

Угол между П1 и П2.

͞ ̅ ̅ ̅

•П1 || П2 : N1 || N2 => N1= cN2 ,т.е.

•(A1,B1) = с (A2,B2)= (сA2,сB2) =>

•A1= сA2 , B1= сB2 . Итак,

•О. Расстояние d от точки M0(x0,y0) до

прямой П: Ax+By+C=0 – длина

перпендикуляра, опущенного из точки М0

на прямую П.

•Теорема.

d | A x0 B y0 C |

A2 B2

Пример 1.

•Найти расстояние между параллельными прямыми: 3x+4y-24=0 и 3x+4y+ 6=0.

•Решение.

•Возьмем любую точку на 1-й прямой:

•М=(0,6). Найдем расстояние от нее до 2-й