Лекция. Элементы Векторной Алгебры

•3. Уравнение медианы АЕ.

•Е – середина отрезка ВС ОЕ=(1/2)(ОВ+ОС)

•Уравнение прямой, проходящей через точки

А(-2,0) и Е(4,2) есть

§6. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

•П 1. Общее уравнение кривой 2-го порядка:

•Ax2+ Cy2 +Bxy+Dx+Ey+F=0

•(A2+ C2 +B2≠0).

•Это уравнение можно упростить введением

новых переменных и привести к более

простому (каноническому виду).

П2.Каноническое уравнение эллипса.

•О. Эллипс - геометрическое место всех

точек плоскости, координаты которых в некоторой прямоугольной системе координат Oxy удовлетворяют уравнению

•Уравнение (6.1) - каноническое уравнение

эллипса.

•При a=b получаем окружность.

y

•1. Координатные оси являются осями симметрии: если точка (x,y) принадлежит

эллипсу, то точки (-x,y), (x,-y), (-x,-y) тоже

принадлежат эллипсу.

•2. Точки (±a,0), (0, ±b) – вершины эллипса.

•3. Точка О(0,0) – центр эллипса.

•4. Линейный эксцентриситет эллипса –

•5. Точки F1=(-c,0), F2=(c,0) – фокусы

эллипса.

•Свойство эллипса:

•Теорема. Для любой точки M(x,y)

эллипса сумма расстояний от этой точки

до фокусов есть величина постоянная,

равная 2a, т.е.

•| F1M |+ | F2M |=2a.

•Частный случай. Окружность: c=0.

•x2+y2=r2- окружность с центром в начале координат и радиусом r.

Пример. Выделение полных квадратов.

Нет слагаемого Bxy. 2x2+ 5y2 -12x+10y+13=0,

(2x2 -12x)+(5y2 +10y)+13=0,

2(x2 -6x+9 - 9)+5(y2 +2y+1- 1)+13=0,

но x2 -6x+9 =(x-3)2, y2 +2y+1=(y+1) 2. =>

2(x-3)2 - 18+5(y+1)2 -5+13=0, т.е.

2(x-3)2 +5(y+1)2 =10, т.е. (x-3)2/5+(y+1)2/2=1.

Пусть x’=x-3, y’=y+1,

(x’)2/5+(y’)2/2=1. – каноническое уравнение

эллипса.

O’x’y’ – каноническая система координат.

•Ее начало координат O’: x’=x-3=0, y’=y+1=0,

т.е. в старых координатах: x=3, y=-1.

y'

y

O