Лекция. Элементы Векторной Алгебры

§7. Уравнение плоскости в R3.

•Пусть плоскость π проходит через точку

M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору

N=(A,B,C).

•Этими условиями определяется единственная

плоскость в пространстве Oxyz. Вектор

N=(A,B,C) называется нормальным вектором

плоскости.

•Возьмем в плоскости π произвольную точку

M(x,y,z).

•Вектор M0M=(x-x0,y-y0,z-z0) будет

перпендикулярен вектору N=(A,B,C) =>

•Скалярное произведение этих векторов равно

нулю: (N, M0M)=0, т.е. в координатной

форме: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (7.1)

•Уравнение (7.1) представляет уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору N=(A,B,C) и проходящей через

данную точку M0(x0,y0,z0).

•Уравнение плоскости, записанное в виде

Ax+By+Cz+D=0

•называется общим уравнением плоскости.

•Теорема. Всякое уравнение 1-й степени (при

A2+B2+C2≠0) с тремя переменными есть

уравнение плоскости.

Исследование общего уравнения плоскости.

•1. D=0, Ax+By+Cz=0.

•Плоскость проходит через начало координат.

•2. A=0, By+Cz+D=0.

•Плоскость параллельна оси Ox.

•3. A=0, B=0, Cz+D=0 или z=-D/C.

•Плоскость параллельна плоскости Oxy.

•z=0 – плоскость Oxy.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

•Даны две плоскости:

•П1 : A1x+B1y+C1z+D1 =0,

•П2 : A2x+B2y+C2z+D2 =0.

•Нормали к ним:

•N1 =(A1,B1,C1), N2 =(A2,B2 ,C2).

• Т 1. П1 || П2 :  N1 || N2  N1= cN2 

A1 B1 C1

A2 B2 C2

•Т 2. П1 _|_ П2  N1 _|_ N2 (N1*N2)=0,

т.е.

•A1A2 + B1B2+ С1С2=0.

•Пример. Написать уравнение плоскости,

проходящей через точку (3,1,-2) и параллельной заданной плоскости:

•-2x+2y+3z+1=0.

•Ответ: -2(x-3)+2(y-1)+3(z+2)=0.

•Расстояние d от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости П: Ax+By+Cz+D=0 –

длина перпендикуляра, опущенного

из точки М0 на плоскость П.

A2 B2 C2

Пример.

•Написать уравнение плоскости, проходящей

через 3 заданные точки: M1(x1,y1,z1),

M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).

•Ответ:

x1 y y1 z z1