Лекция. Элементы Векторной Алгебры

Теорема (свойства скаляр. произведения ).

1.(a b) (b a) симметричность.

2.a (b с) (a b) (a с) дистрибутивность. 3.( a b) (a b) однородность.

4.(a a) | a || a | 0, (a 0)

• Замечание. Из формулы (2.1) получаем :

cos (a b ) | a || b |

Теорема. Пусть векторы a≠0 и b ≠ 0. Тогда

(a b) 0 a b

• Теорема. Пусть a=(x1,y1), b=(x2,y2). Тогда

•

(a b) x1x2 y1 y2

• Следствие. Угол между векторами:

• Доказательство.

ax1i y1 j,b x2i y2 j.

•В силу свойств (*):

(a b) (x1i y1 j)(x2i y2 j)

x1x2 (i i ) x1 y2 (i j) y1x2 ( j i ) y1 y2 ( j j )x1x2 y1 y2

Пример.

•Пусть a̅ =(2,-1), b̅=(8,-4). Найти угол между векторами.

•Решение.

•(a̅ ∙ b̅) = x1x2+ y1y2=2∙8+(-1)(-4)= 20,

•| a̅ |=√5, | b̅|=√80.

•cos α=20/20=1 =>α=0 (ответ очевиден из

коллинеарности векторов a̅ , b̅).

§3. Векторы в R3.

•Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые Ox, Oy, Oz.

•Пусть i̅, ̅j, k̅– единичные векторы вдоль

положительных направлений осей Ox, Oy, Oz.

z

z0

M(x0,y0,z0)

x0

x

•Вектор OM̅ =(x0,y0,z0)= i̅x0+ ̅j y0+ ̅k z0.

•i̅=(1,0,0); ̅j =(0,1,0); ̅k =(0,0,1).

•Даны точки A=(x1,y1 ,z1) и B= (x2,y2 ,z2).

Вектор

AB (x2 x1; y2 y1; z2 z1 ),

Длина вектора :

| AB | (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2

•О. Скалярное произведение векторов a̅ и b̅– число, равное:

• (a̅ ∙ b̅) =| a̅ || b̅|cos α, где α – угол между a̅ и b̅.

•Если a̅ _|_ b̅, то (a̅ ∙ b̅) =0.

•Теорема. Пусть a̅ =(x1,y1 ,z1), b̅=(x2,y2 ,z2). Тогда (a̅ ∙ b̅) = x1x2+ y1y2 + z1z2 .

•Следствие. Угол между векторами:

Пример.

•Пусть a=(2,-1,-2), b=(8,-4,0), c=2a, d=b-a.

•Найти угол α между векторами c и d.

•Решение. c=2a=(4,-2,-4), d=b-a=(6,-3,2).