Lecture 2.Production
.pdf
Клонирование и постоянная отдача от масштаба
За гипотезой постоянной отдачи от масштаба стоит идея возможности «клонирования» производства
Рассмотрим какой-то завод. Чтобы производить
продукцию, этот завод использует капитал (здания,
станки, сооружения),труд и какую-то технологию
Клонируем данный завод:
Построим точно такой же завод, установим туда точно такое же оборудование, и наймем туда точно таки же рабочих
Для нового завода не потребуется создавать новую технологию, так как технология является неконкурентным благом
В экономике в целом:
Количество используемого труда и капитала возрастет в два раза
Выпуск возрастет в два раза Уровень технологии останется прежним
Гипотеза постоянной отдачи от масштаба:
увеличение количества факторов производства в> 0 раз приводит к росту выпуска в раз
|
В рассмотренном примере = 2 |
11 |
Постоянная отдача от масштаба и однородность производственной функции
Постоянная отдача от масштаба: увеличение количества используемых факторов производства в раз приводит к росту выпуска в раз:
, , |
= , , |
Однородность степени : Производственная функция является
однородной степени по факторам производства, если увеличение всех факторов производства в раз приводит к росту выпуска в раз
, , |
= , , |
Таким образом, постоянная отдача от масштаба подразумевает однородность производственной функции первой степени по факторам
производства
Мы не ставим коэффициент перед параметром технического прогресса, так как технология является неконкурентным благом
12
Нейтральность технического прогресса
Иногда мы будем предполагать нейтральность технического прогресса
В исходной версии производственной функции, = , , технический прогресс не является нейтральным
В случае, если параметр технического прогресса домножается на труд, говорят, что технический прогресс является нейтральным по Харроду:
= ,
Если параметр технического прогресса домножается на всю производственную функцию,
говорят, что технический прогресс является нейтральным по Хиксу:
= ,
До тех пор, пока мы не определили единицы, в которых измеряется технический прогресс, различные случаи могут быть сведены один к другому заменой переменных. Например, если технический прогресс не является нейтральным, а мы хотим использовать гипотезу нейтрального по Харроду технического прогресса, вместо переменной мы можем использовать переменную , определенную следующим выражением:
, , 1 |
= , , |
В дальнейшем мы предполагаем, что технический прогресс является нейтральным по Харроду
Произведение будем называть «эффективный труд»
13
Производственная функция: резюме
= ,
Нейтральный по Харроду технический прогресс
Положительная убывающая предельная производительность каждого фактора
′ |
, |
> 0; ′′ |
, |
< 0 |
1 |
|
11 |
|
|
′ |
, |
> 0; ′′ |
, |
< 0 |
2 |
|
22 |
|
|
Постоянная отдача от масштаба
, = ,
14
Пример: Производственная функция Кобба-Дугласа
= 1−
15
Пример: производственная функция с постоянной эластичностью замещения
|
|
−1 |
|
|
|
−1 |
|
= |
|
+ |
1 − |
|
−1 |
||
|
|
|
где 0, +∞
Докажите следующие свойства данной функции:
Постоянная отдача от масштаба
Положительная убывающая предельная производительность каждого фактора
Эластичность замещения между трудом и капиталом равна
При → 1 данная функция стремиться к функции КоббаДугласа
Нарисуйте изокванты для данной производственной функции для случаев → 0+, → 1 и → +∞
16
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
17
Leonhard Euler (1707-1783)
18
Теорема Эйлера
Если производственная функция однородна степени
, |
= , |
То она может быть разложена следующим образом:
|
, |
= ′ |
, |
+ ′ |
, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
При этом любая её производная является однородной функцией степени − 1 :
′ |
, |
= −1 ′ |
, |
|
1 |
|
|
1 |
|
′ |
, |
= −1 |
′ |
, |
2 |
|
|
2 |
|
Мы рассматриваем случай постоянной отдачи от масштаба, для которого = 1
19
Задача производителя
20