SAL_chast_1

Часть 3. Производные критерии принятия решений в условиях неопределѐнности

К производным критериям указанного типа относят критерии, которые в той или иной степени модифицируют или обобщают классические критерии. Среди таких критериев выделяют также и так называемые составные критерии принятия решений в условиях неопределѐнности, - они будут представлены в следующей главе. В этой главе в краткой форме рассмотрены следующие критерии:

критерий Гурвица;

критерий произведений;

критерий Гермейера;

критерий наиболее вероятного исхода.

1.Критерий Гурвица (HW-критерий).

Этот критерий характеризуется взвешенной позицией ―пессимизмаоптимизма‖ соответствующего отношения ЛПР к неопределѐнности экономического результата. В рамках такого подхода при сравнении альтернатив за основу принимаются только следующие их результаты для возможных реализаций событий, не зависящих от ЛПР:

а) самый неблагоприятный; б) самый благоприятный.

Эти ―крайние‖ (самый благоприятный и самый неблагоприятный) результаты учитываются с определѐнными ―весами‖, выбираемыми непосредственно ЛПР и характеризующими его отношение к риску или к возможности отклонения конечного экономического результата. Другими словами, при этом критерии ЛПР как бы ―взвешивает‖ оценки двух ―крайних‖ классических критериев: ―крайнего‖ пессимизма (ММ-критерия) и ―крайнего‖ оптимизма (H-критерия). При указанном подходе к нахождению наилучшего решения в условиях неопределенности удобно для матрицы полезностей вводить три дополнительных столбца. А именно: первый – для оценок по ММ-критерию; второй – для оценок по Н-критерию; третий – для результирующих оценок по HW-критерию с учетом выбранных «весов» применительно к первым двум из указанных выше типов оценок. Соответственно, в рамках такого подхода функция, задающая семейство ―линий уровня‖ определяется равенством

f (u;v;...; z) c min{u, v,..., z} (1 c) max{u, v,..., z} ,

где

c (0 c 1) - ―вес‖, с которым учитывается оценка классического ММ-критерия;

(1 c) - ―вес‖, с которым учитывается оценка классического H-

критерия.

Применительно к обозначениям, принятым ранее для матрицы полезностей, задача нахождения наилучшего решения при сравнении альтернатив в условиях неопределѐнности формализуется как следующая задача оптимизации. Пусть

52

aij – доход ЛПР, если будет принято решение i, причем ситуация сложится именно

j-ая (т.е. в соответствии с событием θj ) ;

Тогда целевая функция критерия может быть представлена следующим образом:

c - соответствующий ―весовой‖ коэффициент.

соответствует H-критерию (оптимизма). Кроме того, при с 0,5 для случая n 2

непосредственно за ЛПР, позволяя ему реализовать своѐ отношение к риску или к возможности отклонения конечного экономического результата. Иногда соответствующий факт относят к недостаткам HW-критерия. На наш взгляд его, скорее всего, следует относить к достоинствам этого критерия. Действительно, возможность выбора параметра с (0 < с < 1) дает ЛПР дополнительную возможность адаптации линий уровня этого критерия применительно к «своему» отношению к риску или отклонению конечного экономического результата в каждой конкретной практической ситуации при анализе звена/звеньев цепи поставок соответствующей системы логистики. Рис. 2.1 иллюстрирует такую возможность.

Графическая интерпретация и линии уровня критерия (n = 2)

УТ

V max{ai2} i

В заключение этого пункта дополнительно отметим ещѐ одну особенность рассмотренного HW-критерия. А именно, зная выбор конкретного ЛПР, который был сделан им применительно к определѐнной задаче принятия решений в условиях неопределѐнности, можно получать оценки для допустимых значений параметра c применительно к указанному ЛПР. Такой подход позволяет оценивать и уточнять (по результатам известных последующих его выборов) склонность ЛПР к риску.

2.Критерий произведений (P-критерий).

Этот критерий характеризуется значительно менее пессимистической позицией отношения ЛПР к неопределѐнности экономического результата, чем, например, при ММ-критерии, но более пессимистической, чем при N-критерии. Обратим внимание на то, что классический нейтральный критерий, учитывающий все возможные экономические результаты (а не только ―крайние‖), приводит к простейшему линейному ―балансу‖ между потерями в одной из ситуаций, не зависящих от ЛПР, и соответствующей компенсацией – в другой (см. рис. 1.3). Другими словами, сравнивая некоторое решение X 0 с иными, оказывается, что если в одной из

ситуаций (например, 1 ) ожидается убыток некоторой величины (по отношению к X 0 ), а в другой – ―компенсация‖ именно такой же величины, то соответствующее решение принимается эквивалентным решению X 0 . Для многих ЛПР такой

простейший линейный ―баланс‖ может оказаться неприемлемым: чем больше величина ожидаемых потерь в одной из ситуаций, тем более значительной должна быть соответствующая ―компенсация ―, требуемая ЛПР, в другой ситуации. Такую особенность позволяет учитывать критерий произведений (P-критерий), согласно которому при нахождении параметра Ki , характеризующего ―линии уровня‖ для

решения X i , элементы матрицы полезностей соответствующей строки

перемножаются, а не суммируются, как при N-критерии. Естественно, при этом необходимо учитывать следующее ограничение.

ОГРАНИЧЕНИЕ. Предполагается, что все элементы соответствующей матрицы полезностей являются положительными:

54

При этом, если указанное условие не выполняется для исходной матрицы полезностей, то предварительно еѐ модифицируют, добавляя ко всем элементам матрицы одно и то же минимально возможное приемлемое число a , такое, чтобы требуемое ограничение было удовлетворено. Другими словами, используют преобразование всех элементов матрицы полезностей к виду aij a (следует,

однако, иметь в виду, что оптимальный выбор может зависеть от a ). Соответственно, в рамках такого подхода учитываются все возможные

результаты событий, не зависящих от ЛПР, причѐм функция, задающая семейство ―линий уровня‖ определяется равенством:

f (u;v;...; z) u v ... z .

Применительно к обозначениям, принятым ранее для матрицы полезностей, задача нахождения наилучшего решения формализуется как следующая задача оптимизации. Пусть

i – вариант возможного решения ЛПР (i 1,2,..., m); j – вариант возможной ситуации ( j 1,2,..., n);

aij – доход ЛПР, если будет принято решение i, а ситуация сложится j-ая; Целевая функция критерия:

Z P max{Ki } ,

i

где

n

Ki aij (aij 0) . j 1

55

Графическая интерпретация и линии уровня критерия (n = 2)

Доход V (при j=2)

АУТ

Доход U

Представленные далее производные критерии принятия решений в условиях неопределенности требуют привлечения некоторой дополнительной информации, например, относящейся к оценкам для вероятностей некоторых ―внешних‖ случайных событий, не зависящих от ЛПР и влияющих на конечный экономический результат анализируемых решений.

3.Критерий Гермейера (G-критерий).

Этот критерий характеризует такую позицию отношения ЛПР к неопределѐнности экономического результата, которая в некотором смысле обладает определѐнной эластичностью. Критерий Гермейера ориентирован на отрицательные значения элементов векторов-строк в матрице полезностей, характеризующих анализируемые решения. В экономических приложениях, когда имеют дело с затратами и издержками это условие обычно легко удовлетворить, например, учитывая издержки относительно идеальной наиболее благоприятной ситуации. Таким образом, рассматриваемый здесь G-критерий,

56

фактически, ориентирован на величины потерь, что применительно к матрице полезностей обуславливает следующее ограничение.

ОГРАНИЧЕНИЕ. Предполагается, что

(i; j) aij 0 .

В противном случае можно перейти к модифицированной матрице с помощью преобразования всех еѐ элементов к виду aij a (следует, однако, учитывать, что

оптимальный выбор может зависеть от a ).

В рамках указанного подхода при сравнении альтернатив решение принимается на основе самого большого ―вклада‖ в средние ожидаемые потери каждого решения.

представлять (без учета знака) средние ожидаемые потери применительно к решению X i (здесь aij - уже элементы матрицы полезностей, причем все они –

отрицательные). В этой сумме отдельное слагаемое

Ki min{q j aij }

j

характеризует самый большой (по модулю) ―вклад‖ в средние ожидаемые потери применительно к X i . Ориентация на этот показатель в рамках рассматриваемого

подхода учѐта ―внешних‖ событий, не зависящих от ЛПР и влияющих на экономический результат, приведѐт к следующей функции, задающѐй семейство ―линий уровня‖:

причѐм потребует дополнительной информации, позволяющей определить или оценить соответствующий самый большой (по модулю) ―вклад‖ в указанные потери.

Итак, задача нахождения наилучшего решения формализуется как следующая задача оптимизации. Пусть

Целевая функция критерия:

57

Модифицированный G(мод)-критерий Гермейера

ОГРАНИЧЕНИЕ. В рамках соответствующей модификации принимается, что

(i; j) aij 0 .

При этом, для сохранения структуры ―линий уровня‖ задача нахождения наилучшего решения формализуется как следующая задача оптимизации. Пусть

59

Графическая интерпретация и линии уровня критерия (n = 2)

max в)

ЗАМЕЧАНИЕ. В случае равномерного распределения вероятностей для случайных событий, влияющих на экономический результат, т.е. в случае, когда,

оказывается, что и G-критерий, и модифицированный G(мод)-критерий дают такие же решения, как и ММ-критерий. Таким образом, указанные критерии в известном отношении обобщают классический ММ-критерий.

60

4.Критерий наиболее вероятного исхода.

Особенность использования этого критерия для выбора наилучшего решения, оптимизирующего работу звена/звеньев цепи поставок в конкретной ситуации, обуславливается возможной достаточной уверенностью ЛПР в том, что среди всех

случайных событий j ( j 1, n) имеется именно одно такое событие (при некотором

значении индекса j ), которое является настолько вероятным, что ЛПР может, практически, ориентировать свой выбор применительно к соответствующей ситуации j .

Другими словами, если через q j снова обозначить вероятности случайных

превышает суммарную вероятность всех остальных ситуаций. В таком случае ЛПР может реализовать свой выбор по элементам только одного столбца матрицы полезностей, который соответствует практически ожидаемой ситуации j . В

рамках такого подхода при сравнении альтернатив учитывается только один элемент вектора-строки, характеризующей анализируемое решение. Соответственно функция, задающая семейство ―линий уровня‖, определяется равенством:

f (u;v;...; z) y ,

где y - переменная с номером j , т.е. соответствующая указанной выше наиболее вероятной ситуации j , для которой вероятность еѐ реализации достаточна близка к

единице. Таким образом, задача нахождения наилучшего решения формализуется следующим образом. Пусть:

q j – вероятность ситуации j ( q j 1, 0 q j 1 );

aij – доход, если будет принято решение i, и сложится j-ая ситуация; j - ситуация с наибольшей вероятностью, т.е.

суммарную вероятность остальных ситуаций. Целевая функция критерия:

Z max{Ki }, где Ki aij .

i

ПРАВИЛО ВЫБОРА. В матрице полезностей A выбирается столбец, соответствующий наиболее вероятному исходу ( j ). Элементы этого столбца рассматриваются как элементы дополнительного столбца ( Ki ). Наилучшим

61