Поле в диэлектрике.

Для потенциального электрического поля (rot E = 0) соотношением E = –grad вводится скалярная расчетная величина (потенциал), как любой скаляр удовлетворяет тождеству rot grad  ≡ 0, при этом , где C – константа.

Электрический потенциал точки A , где P – точка, потенциал которой принят (задан) равным нулю: .

Разность электрических потенциалов точек A и B (электрическое напряжение )

.

Выражения градиента потенциала в декартовых, цилиндрических и сферических координатах:

Декартовы (x, y и z)
Цилиндрические (r, α и z)
Сферические (r, θ и α)

В декартовой системе координат , , .

В однородной среде (ε=const) для потенциала справедливо уравнение Пуассона: .

Решением уравнения Пуассона является выражение: , где V – объем, занятый свободными зарядами, распределенными с плотностью ρ; r –расстояние от точки определения потенциала до точки расположения элементарного заряда .

В областях, не занятых объемными зарядами (ρ=0) имеет место частный вид уравнения Пуассона – уравнение Лапласа: .

Выражения Δφ в декартовых, цилиндрических и сферических координатах:

Декартовы (x, y и z)
Цилиндрические (r, α и z)
Сферические (r, θ и φ)

Граничные условия.

Для нахождения потенциала φ уравнение Пуассона (Лапласа) следует дополнить граничными условиями:

На поверхности проводника	На границе раздела двух сред 1 и 2 с диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2
или , где – составляющая вектора напряженности поля, касательная к поверхности проводника.	или , где – составляющая вектора напряженности поля, касательная к границе раздела сред, т.е. .
, где – составляющая вектора смещения, нормальная к поверхности проводника (нормаль направлена в сторону диэлектрика); σ – плотность поверхностного свободного заряда на проводнике.	, где – составляющая вектора смещения, нормальная к границе раздела сред, при условии, что нормаль направлена из первой среды во вторую. В частности, при σ=0: или , . Для связанного заряда: , , .

Емкость проводящих тел.

Емкость уединенного проводящего тела определяется отношением ,

где q – заряд тела, φ – его потенциал, определенный при условии, что потенциал бесконечно удаленной точки принят равным нулю: φ_∞ = 0.

Емкость между двумя уединенными проводящими телами (конденсаторная емкость) равна отношению: , где q₁ – заряд первого тела; φ₁ и φ ₂ – потенциалы тел, определенные при условии, что q₂ = –q₁. Для однородной двухпроводной линии длиной , кабеля длиной вводится емкость на единицу длины [Ф/м].

Задача 1. Плоский конденсатор с двумя слоями диэлектрика d₁ = d₂=1 см;

ε_rl = 3, ε_r2 = 6 (рис. 1) зарядили до напряжения U = 100 В и отключили от источ­ника. Найти электрическое смещение, напряженность поля и распределение потенциала в обоих диэлектриках.

Определить: 1) как изменятся эти величины и емкость конденсатора, если из конденсатора вынуть пластину второго диэлектрика; 2) каковы будут эти величины, если конденсатор останется подключенным к источнику.

Рис. 1

Решение. Напряжение между пластинами конденсатора (разность потенциалов): В пределах каждого диэлектрика напря­женность поля постоянна, поэтому U = E₁d₁ + E₂d₂. На границе двух диэлектриков свободный заряд отсутствует и, следовательно, по ε_r1E₁ = ε_r2E₂.

Следовательно, напряженность в каждом слое:

Электрическое смещение:

D₁ = D₂ = D = ε_r1ε₀E = 200 ε₀ = 17,72·10^-12 Кл/см².

Потенциал , следовательно, с учетом и ,

φ₁ = (100 – 66,7х) В и φ₂ = (66,7 – 33,3х) В, где х - в санти­метрах.

1) Если вынуть вторую пластину при отключенном источ­нике, то останется неизменным заряд на пластинах, поверх­ностная плотность которого по (13.19) равна электрическому смещению, т.е. останется прежним: σ=D= 17,72 10^-12 Кл/см².

Напряженность поля по при ε_r2 = 1: Е₁ = D/ ε_r1ε₀ = 66,7 В/см; Е₂ = D/ ε_r2 ε₀ = 200 В/см;

Напряжение на конденсаторе увеличится: U = E₁d₁ + E₂d₂ = 266,6 B.

Распределение потенциала: φ₁ = (266,6 – 66,7х); φ₂ = (400 – 200х) В.

2) Если вынуть пластину второго диэлектрика при вклю­ченном источнике, то напряжение останется прежним, и при ε_r2 = 1 получим:

Электрическое смещение D = ε_r1ε₀E₁ = ε_r2ε₀E₂ = 6,65 10^-12 Кл/см², т.е. плотность заряда на пластинах умень­шится.

Распределение потенциала: φ₁ = (100 – 25х) В и φ₂ = (150 – 75х) В.

В обоих случаях емкость конденсатора на единицу по­верхности электродов

С₀ = q/U = D/U = ε_r1ε_r2ε₀/(d₁ε_r2 + d₂ε_r1) уменьшится.

Задача 2. В пространстве между заземленными электродами плоского воздушного конденсатора распределен электрический заряд плотностью ρ, равной ρ = ax. Координата x отсчитывается по нормали от одного из электродов. Найти потенциал и напряженность поля. Расстояние между электродами равно 2d. Построить распределение , , найти потенциал изолированной металлической сетки, удаленной на расстоянии от левой заземленной пластины. Пластина расположена строго параллельно пластинам.

Дано: d= 0,1 м, а=5·10^-4 Кл/м³, U=3 кВ, =6 см.

Решение. В области 0 < x < d (Рис. 1) потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона . При интегрировании , .

Рис. 1

Константы С₁ и С₂ (постоянные интегрирования) найдем из заданных граничных условий (заданных значений потенциалов) и . После подстановки С₂=0, имеем С₁=12,4·10⁴ В/м, окончательно (В).

Так как , то (В/м).

Потенциал сетки В.

Задача 3. Решить задачу 2 при условии, что сетка заземлена, а источник изолирован.

Решение. Общий вид решения не изменится, но константы С₁ и С₂ (постоянные интегрирования) найдем из заданных граничных условий заданных значений потенциала и разности потенциалов . Получим (В). Левый и правый электрод будут иметь потенциалы В, В.

Так как , то распределение не изменится.

Коаксиальный кабель представляет собой симметричную систему проводников (жила и оболочка) с диэлектрической прослойкой (изоляция между жилой и оболочкой) и может быть рассмотрен как цилиндрический конденсатор. Поле кабеля является плоскопараллельным, распределение потенциала во всех параллельных плоскостях, нормальных к осевой координате, является одинаковым. На основе теоремы Гаусса при однородной изоляции между жилой и оболочкой и равномерном распределении заряда по поверхности жилы можем записать, что , где - линейная плотность заряда, - расстояние, отсчитываемое от центра (оси), , - радиус жилы, - внутренний радиус оболочки. Модуль вектора напряженности выражается равенством [В/м]. При Гауссова поверхность не охватывает неподвижного свободного заряда, поэтому электростатического поля внутри проводника нет и . При суммарный охваченный поверхностью заряд равен нулю и . Напряжение между жилой и оболочкой может быть найдено по формуле [В],

Электрическая емкость на единицу длины коаксиального кабеля: [Ф/м].

Максимальная напряженность, как следует из зависимости , наблюдается в точке, расположенной на поверхности жилы при , таким образом

. Максимальная напряженность не должна превышать допустимую напряженность изоляции¹ E_max E_доп; максимально допустимое напряжение может быть определено из условия E_доп. Следовательно,

U_max= E_доп . Графики и при имеют вид:

Задача 4. К цилиндрическому конденсатору дважды подво­дится напряжение, доводящее конденсатор до пробоя: первый раз, когда диэлектриком был воздух, пробивная напряженность которого Е_пр = E₁ =30 кВ/см, и второй раз, когда диэлектри­ком было масло (ε_r = 2,4) с Е_пр = Е₂ = 54 кВ/см.

Определить соотношение между напряжениями, приклады­ваемыми к конденсатору в первом и во втором случаях, и между зарядами конденсаторов в тех же случаях.

Решение. По теореме Гаусса напряженность поля в изоляции цилиндрического конденсатора . Учитывая, что разность потенциалов или напряжение , получим , где R₁ - радиус внутреннего провод­ника (жилы) и R₂ — внутренний радиус внешнего проводника (оболочки), .

Максимальная напряженность поля на поверхности жилы при :

откуда допустимое напряжение при равно

и максимальный заряд на единицу длины τ = 2πε_rε₀R₁E_пр.

Следовательно, отношение допустимых напряжений равно отношению пробивных напряженностей: U₁/U₂ = Е₁/ Е₂ = 0,556, а отношение зарядов τ₁/τ₂ = Е₁/ε_rE₂ = 0,232.

Задача 5. Цилиндрический конденсатор (рис.2), где R₁ = 1 мм, R₂ =2 мм, R₃ = 4 мм) заполнен двухслойным ди­электриком: 1) ε_ra = 1; ε_rb = 3 или

2) ε_ra = 3; ε_rb = 1.

О пределить в обоих случаях пробивное напряжение и построить зависимости напряженности поля от радиуса. Срав­нить со случаем однородного диэлектрика, имеющего свойства слоя а или b.

Рис. 2

Пробивная напряженность воздуха 30 кВ/см, пробивная напряженность диэлектрика 60 кВ/см.

Решение. Из теоремы Гаусса следует, что для и для . Напряжение между жилой и оболочкой:

В случае 1, если допустить Е_max = E_{a max} при r = R₁, то τ = 6πε₀, если Е_max = E_{b max} при

r = R₂, то τ = 72πε₀.

Во избежание пробоя надо взять меньшее значение заряда, т.е. τ = 6πε₀, при этом пробивное напряжение:

В случае 2 меньшее значение τ = 12πε₀ и пробивное напряжение

Из зависимостей Е(r) видно, что в случае 2 поле в конденсаторе меньше изменяется, что приводит к повышению пробивного напряжения.

1) 2)

Если изоляция конденсатора заполнена только диэлектриком ε_ra = 1, то есть E_{a max} = 30 кВ/см = τ/2πε_rа ε₀R₁, тогда τ = 6πε₀. При этом . Если изоляция конденсатора заполнена только диэлектриком ε_rb = 3, то E_{b max} = 60 кВ/см = τ/2π ε_rb ε₀ R₁ и τ = 36πε₀, при этом

1 Допустимая напряженность E_доп или E_проб для воздуха E_доп=30 кВ/см, твердого диэлектрика

E_доп=60 200 кВ/см, масла E_доп=54 кВ/см.

11