Matanaliz

f(n+1)(t)(x − t)n за теоремою про середнє iснує точка ξ на iнтервалi з кiнцями x0, x, що

x

Z

f(n+1)(t)(x − t)ndt = f(n+1)(ξ)(x − ξ)n(x − x0),

x0

тобто

rn(x) = f(n+1)(ξ)(x − ξ)n(x − x0). n!

i якщо знову врахувати, що для точки ξ iснує точка θ (0 < θ < 1), що ξ = x0 + θ(x − x0), то

(x − ξ)n = (x − x0 − θ(x − x0))n = (x − x0)n(1 − θ)n,

i для rn(x) має мiсце подання (28.14).

Зауважимо, що якщо функцiя f та її похiднi всiх порядкiв обмеженi разом на iнтервалi (x0 − h; x0 + h), тобто iснує M >

то для всiх x (x0 − h; x0 + h) rn(x) → 0 при n → ∞. Отже, у цьому випадку функцiя f розкладається у ряд Тейлора на iнтервалi (x0 − h; x0 + h).

Приклад 3. Розкласти функцiю sin x у степеневий ряд.

441

Розв’язання. Оскiльки для функцiї f(x) = sin x

f(n)(x) = sin x + nπ2 ,

де n = 0, 1, 2, . . ., то для неї можна побудувати ряд Тейлора у будь-якiй точцi x0 R, тобто ряд

Зауважимо, що за iнтервал (x0 − h; x0 + h), для якого перевiряється той факт, що rn(x) → 0 при n → ∞ для всiх x (x0 − h; x0 + h), як правило, береться iнтервал збiжностi ряду (28.8).

Приклад 4. Розкласти функцiю ln x у степеневий ряд.

442

n

n=1

для всiх x (−1; 1).

На закiнчення вiдзначимо, що степеневi ряди застосовуються при розв’язуваннi всiх основних задач, пов’язаних з головним об’єктом аналiзу — функцiєю. Так, за допомогою таких рядiв можна означити функцiї, знаходити значення функцiї за певним значенням аргумента або значення аргументу за заданим значенням функцiї, дослiджувати функцiю (наприклад, знаходити границю функцiї у точцi, її похiдну певного порядку або iнтеграл на певному промiжку) i навiть знаходити функцiї за їх властивостями (розв’язувати функцiональнi рiвняння).

Завдання для самоконтролю.

1.Знайти радiус й iнтервал збiжностi степеневого ряду, дослiдити ряд на абсолютну i умовну збiжнiсть на кiнцях iнтервалу збiжностi:

n=1

444

7. Обчислити з точнiстю до 10−3 iнтеграли:

8. Дослiдити на збiжнiсть такi ряди:

9. Знайти радiус збiжностi таких степеневих рядiв:

446

29 ЛЕКЦIЯ: Диференцiальнi рiвняння першого

порядку

Основнi поняття теорiї диференцiальних рiвнянь: порядок, розв’язок (частинний, загальний, загальний iнтеграл), iнтегральнi кривi. iснування i єдинiсть розв’язку диференцiального рiвняння першого порядку. Диференцiальнi рiвняння першого порядку, якi iнтегруються у квадратурах (з вiдокремлюваними змiнними, лiнiйнi, однорiднi, у повних диференцiалах).

Лiтература. [1] ч. 2, с. 240–244, 271–290; Ляшко i.i., Боярчук О.К., Гай Я.Г., Калайда О.Ф. Диференцiальнi рiвняння.

– К.: Вища школа, 1981, с. 9–14, 22–38; Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. – К.: Вища школа, 1984, с. 15–80 .

Означення 29.1. Диференцiальним рiвнянням першого порядку називають рiвняння виду

F (x, y, y0) = 0,

де F — вiдома функцiя своїх аргументiв, x — незалежна змiнна, y — невiдома функцiя, y0 — її похiдна, а рiвняння

де f(x, y) — задана функцiя двох змiнних, називають диференцiальним рiвнянням першого порядку, розв’язаним вiдносно похiдної.

Рiвнянням, розв’язаним вiдносно похiдної, буде диференцiальне рiвняння виду

де P (x, y), Q(x, y) — заданi функцiї. У такому записi змiннi x i y рiвноправнi, так що будь-яку з них можна прийняти за незалежну змiнну (симетрична форма).

447

Означення 29.2. Розв’язком диференцiального рiвняння (29.1) на iнтервалi (a; b) називають будь-яку неперервно диференцiйовну на цьому iнтервалi функцiю y = ϕ(x) таку, що

ϕ0(x) ≡ f(x, ϕ(x))

на iнтервалi (a; b).

Звичайно розв’язок рiвняння (29.1) може подаватись не тiльки явно, але й параметрично або неявно, причому у такому поданнi можуть фiгурувати iнтеграли. Загалом, процес знаходження розв’язку диференцiального рiвняння називають iнтегруванням, причому формально задача iнтегрування диференцiального рiвняння вважається закiнченою, якщо залишилось знайти iнтеграли, хоча, можливо, цi iнтеграли не можна подати у скiнченному виглядi через елементарнi функцiї. У цьому випадку кажуть, що рiвняння iнтегрується скiнченним числом квадратур. А от у тому випадку, коли розв’язок диференцiального рiвняння не можна виразити з допомогою скiнченног числа алгебраїчних операцiй i операцiй аналiзу (диференцiювання та iнтегрування) над функцiями, якi фiгурують у заданому рiвняннi, то кажуть, що таке рiвняння не iнтегрується у квадратурах.

Щодо кiлькостi розв’язкiв, то диференцiальне рiвняння (29.1) за певних умов, накладених на функцiю f(x, y) має нескiнчену множину розв’язкiв. Так наприклад, для найпростiшого диференцiального рiвняння

y0 = f(x),

де f(x) — неперервна на iнтервалi (a; b) функцiя, кожна первiсна для функцiї f(x) на цьому iнтервалi є його розв’язком. Множина

x

448

де x0 (a; b), є множина всiх розв’язкiв (це вiдомо з iнтегрального числення), яку, як правило, записують у виглядi формули

x

Z

y = f(t)dt + C.

x0

Звичайно це не означає, що, загалом, для рiвняння (29.1) досить знайти один розв’язок y = ϕ(x) i пiсля цього можна записати множину всiх розв’язкiв у виглядi формули y = ϕ(x) + C.

y = ϕ(x) + C нi при якому C 6= 0 не дає розв’язку заданого рiвняння. А от формула

задає нескiнченну множину розв’язкiв цього рiвняння.

Означення 29.3. Множину (сiм’ю) розв’язкiв, яку можна подати у виглядi формули

y = ϕ(x, C),

де C — довiльна стала, називають загальним розв’язком рiвняння (29.1). Розв’язок, який одержується iз загального при фiксованому значеннi довiльної сталої, називається частинним розв’язком.

iнтегруючи диференцiальне рiвняння (29.1), можна одержати загальний розв’язок у параметричнiй формi

x = ϕ(t, C), y = ψ(t, C)

449

або ж у неявному виглядi (у виглядi, не розв’язному нi вiдносно y, нi вiдносно x)

Φ(x, y, C) = 0.

Останню форму загального розв’язку називають загальним iнтегралом.

Основною задачею iнтегрування диференцiального рiвняння є знаходження всiх його розв’язкiв i вивчення їх властивостей. Однак так поставлена задача для рiвняння (29.1) в принципi не може бути розв’язаною, бо у загальному виглядi це рiвняння не iнтегрується у квадратурах. Рiвняння, всi розв’язки яких подаються через елементарнi функцiї або ж, принаймнi, з допомогою скiнченного числа iнтегрувань, є рiдкiстю. (Нижче основнi типи таких рiвнянь будуть розглянутi.) Тому на перший план виступають наближенi методи iнтегрування, причому, як правило, шукають розв’язок, який задовольняє певним умовам. Зрозумiло, що задачу можна розв’язувати тодi, коли є упевненiсть у тому, що такий розв’язок iснує. У зв’язку з цим однiєю з найважливiших задач теорiї диференцiальних рiвнянь є так звана задача Кошi.

Постановка задачi: серед усiх розв’язкiв рiвняння y0 = f(x, y) знайти той розв’язок y = ϕ(x), який при заданому значеннi x0 незалежної змiнної приймає задане значення y0 (ϕ(x0) = y0), де x0 i y0 — заданi числа, якi називають початковими значеннями, а умову ϕ(x0) = y0 — початковою умовою.

Приведемо тут теорему iснування i єдиностi розв’язку задачi Кошi для рiвняння (29.1).

Теорема 29.1. Нехай задано рiвняння (29.1)

y0 = f(x, y)

i початковi значення x0, y0. Якщо функцiя f(x, y) визначена i

450