Matanaliz

збiгається для всiх z, у яких |z| < |z0|. А отже, ряд (28.4) абсолютно збiгається для всiх таких z. Якщо ж ряд (28.4) у точцi z0 розбiгається, то припустивши, що вiн збiгається у точцi z1, у якої |z1| > |z0|, на пiдставi першої частини теореми маємо зробити висновок, що ряд (28.4) у точцi z0 збiгається.

З теореми Абеля випливає, що ряд (28.4) збiгаєтся або тiльки у точцi z0, або у крузi радiуса R, а поза ним розбiгається, або на всiй комплекснiй площинi. На питання, коли саме буде той чи iнший випадок, дає вiдповiдь наступна теорема.

Теорема 28.2 (теорема Кошi-Адамара). Якщо у степеневого ряду (28.4)

p

lim n |an| = l,

n→∞

то вiн збiгається на всiй комплекснiй площинi при l = 0, у крузi |z| < 1l (поза цим кругом розбiгається) при l > 0, тiльки у точцi z = 0 при l = +∞.

Доведення. Насамперед нагадаємо, що коли пiдпослiдовнiсть (unk ) послiдовностi дiйсних чисел (un) є збiжною, то

lim unk

k→∞

називають частковою границею послiдовностi (un), а найбiльшу з часткових границь називають верхньою границею цiєї послi-

довностi i позначають lim un. У випадку, коли множина частко-

n→∞

вих границь необмежена зверху, то записують

lim un = +∞.

n→∞

Перейдемо тепер до доведення теореми. Будемо дослiджувати

на збiжнiсть ряд

∞

X

n=0

431

з допомогою ознаки Кошi.

p

а) Нехай lim n |an| = 0. Тодi

n→∞

для кожного z C. А цей й означає, що ряд (28.4) абсолютно збiгається на всiй комплекснiй площинi.

p

б) Нехай lim n |an| = l > 0. Тодi

n→∞

pp

За ознакою Кошi ряд (28.6) буде збiгатись, якщо |z|l < 1, тобто для всiх z з круга |z| < 1l . Якщо ж |z| > 1l , то послiдовнiсть

(|an||z|n), а з нею i послiдовнiсть (anzn) не є нескiнченно малою. Отже, при таких z для ряду (28.4) не виконується необхiдна умова збiжностi.

p

в) Нехай lim n |an| = +∞. Тодi iснує пiдпослiдовнiсть

n→∞

p

( nk |ank |), яка необмежена зверху, а отже, i пiдпослiдовнiсть (ank |z|nk ) для всiх z 6= 0 буде необмеженою зверху. Звiдси випливає, що для будь-якого z 6= 0 послiдовнiсть (|an||z|n) не є нескiнченно малою, тобто для ряду (28.4) не виконується необхiдна умова збiжностi.

Означення 28.2. Якщо

p

lim n |an| = l > 0,

n→∞

то число R = 1l називають радiусом збiжностi, а круг |z| < R

— кругом збiжностi степеневого ряду (28.4). Якщо

p

lim n |an| = 0,

n→∞

432

то вважають, що радiус збiжностi R = +∞, а кругом збiжностi є вся комплексна площина. i, нарештi, якщо

p

lim n |an| = +∞,

n→∞

то вважають, що радiус збiжностi R = 0, а круг збiжностi вироджується в точку z = 0.

Зауваження 1. Якщо R > 0, то степеневий ряд (28.4) збiгається у крузi |z| < R i розбiгається поза ним. Що стосується точок кола |z| = R, то для них потрiбне спецiальне дослiдження.

Зауваження 2. Коли мова йде про степеневi ряди з дiй-

∞

сними членами, тобто про ряди виду P anxn, де an R для

n=0

n = 0, 1, 2, . . ., x — дiйсна змiнна, то замiсть термiну „круг збiжностi“ вживають термiн „iнтервал збiжностi“.

Приклад 1. Знайти область збiжностi степеневого ряду

то заданий ряд збiгається абсолютно у крузi |z| < 1. Якщо ж z

лютних величин розбiгається. Таким чином, точок абсолютної збiжностi на колi |z| = 1 немає. Очевидно також, що у точцi z = 1 ряд розбiгається. Доведемо, що для всiх z 6= 1 у яких |z| = 1, заданий ряд збiгається. Справдi, оскiльки послiдовнiсть

433

1

n

монотонно прямує до нуля, а послiдовнiсть часткових сум

∞

ряду P zn

n=1

збiгається. Отже, областю збiжностi цього ряду є множина

D = {z | |z| 6 1, z 6= 1}.

Теорема 28.3. Якщо радiус збiжностi степеневого ряду (28.4) дорiвнює R (включається випадок R = +∞), то для будь-якого r (0 < r < R) вiн рiвномiрно збiгається на крузi

|z| 6 r.

Доведення. Вiзьмемо точку z0, у якої |z0| = r. Тодi z0 нале-

∞

жить кругу збiжностi, а отже, буде збiжним ряд P |an||z0|n з

n=0

додатними членами, причому для кожного n = 0, 1, 2, . . . i всiх

z з круга |z| 6 r виконується нерiвнiсть |anzn| 6 |an||z0|n. За

∞

ознакою Вейерштрасса степеневий ряд P anzn рiвномiрно збi-

n=0

гається на крузi |z| 6 r.

∞

Приклад 2. Дослiдити на рiвномiрну збiжнiсть ряд P zn.

n=0

Розв’язання. Очевидно, що радiус збiжностi цього ряду дорiвнює 1, i для всiх z, у яких |z| < 1

∞

Xzn = 1 −1 z .

n=0

В силу попередньої теореми для кожного r (0 < r < 1) цей ряд

1

буде збiгатись рiвномiрно до функцiї 1 − z на крузi |z| 6 r. Покажемо, що на крузi збiжностi рiвномiрної збiжностi уже немає.

434

Нехай функцiя f визначена у деякому околi точки x0 i має у цiй точцi безлiч похiдних.

Означення 28.3. Степеневий ряд

називається рядом Тейлора функцiї f у точцi x0.

Нехай

r

lim n |f(n)(x0)| = R > 0

n→∞ n!

(випадок R = +∞ включається), тобто ряд (28.7) збiгається на iнтервалi (x0 −R; x0 + R), i нехай S(x) його сума. Якщо для всiх x з iнтервалу (x0 − h; x0 + h) S(x) = f(x), то кажуть, що на iнтервалi (x0 − h; x0 + h) функцiя f розкладається у степеневий ряд за степенями x − x0 i записують

Оскiльки функцiя f має у точцi x0 похiднi всiх порядкiв, то для кожного n = 1, 2, . . . можна записати формулу Тейлора n-го порядку

де rn(x) — залишковий член n-го порядку формули (28.9). Очевидно, що у цiй формулi многочлен Тейлора

437

є n-а часткова сума ряду Тейлора (28.7). А отже, її можна записати так

Звiдси випливає, що для того, щоб для всiх x з iнтервалу (x0 − h; x0 + h) S(x) = f(x) необхiдно i досить, щоб для кожного x з цього iнтервалу

Отже, функцiя f розкладається у степеневий ряд за степенями x − x0 на iнтервалi (x0 − h; x0 + h), якщо у точцi x0 вона має похiднi всiх порядкiв i залишковий член формули Тейлора прямує до нуля для всiх x (x0 − h; x0 + h).

Зрозумiло, що для перевiрки виконання рiвностi (28.11) важливо мати подання rn(x) у зручному для аналiзу його поведiнки виглядi. Якраз три найбiльш популярнi форми залишкового члена формули Тейлора складають змiст наступної теореми.

Теорема 28.4. Якщо функцiя f визначена i неперервна разом з своїми похiдними до n + 1-го порядку включно на iнтервалi (x0 − h; x0 + h), то залишковий член rn(x) її формули Тейлора для всiх x (x0 − h; x0 + h) можна подати у виглядi:

а) iнтегральна форма

б) форма Лагранжа

де 0 < θ < 1;

438

Знову проiнтегрувавши останнiй iнтеграл частинами, поклавши

439

Для кожного m 6 n, проiнтегрувавши частинами останнiй член у рiвностi

На пiдставi принципу iндукцiї робимо висновок, що формула (28.16) вiрна для всiх m 6 n. Якщо покласти у (28.16) m = n, то отримаємо формулу Тейлора n-го порядку, у якiй залишковий член rn(x) подається у формi (28.12). В силу того, що за умовою для всiх x (x0 − h; x0 + h) (x 6= x0) похiдна n + 1-го порядку функцiї f є неперервною на вiдрiзку з кiнцями x0, x, то за узагальненою теоремою про середнє iснує точка ξ на iнтервалi з кiнцями x0, x, що

А якщо врахувати, що для точки ξ iснує таке θ (0 < θ < 1), що ξ = x0 + θ(x − x0), то приходимо до подання (28.13). i, нарештi, в силу неперервностi на вiдрiзку з кiнцями x0, x функцiї

440