Matanaliz

2. Розв’язування систем лiнiйних рiвнянь.

Нехай маємо систему лiнiйних рiвнянь

Перепишемо його у виглядi Axt + xt −bt = xt або A xt −bt = xt, де

Будемо вважати, що для будь-яких x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rn

d(x, y) = max |xk − yk|.

k=1,n

Розглянемо вiдображення f : Rn → Rn, яке дiє за таким прави-

401

i рiвняння f(x) = x має єдиний розв’язок, тобто задана система рiвнянь має єдиний розв’язок, який можна шукати методом послiдовних наближень.

3. Розв’язування диференцiальних рiвнянь першого поряд-

ку.

Нехай у диференцiального рiвняння

y0 = f(x, y)

функцiя f(x, y) визначена i неперервна на прямокутнику D = {(x, y) | |x − x0| 6 a, |y − y0| 6 b} i задовольняє на ньому умови Лiпшиця по змiннiй y, тобто iснує L > 0 таке, що для будь-яких точок (x, y1), (x, y2) D виконується нерiвнiсть

Позначимо через X множину всiх неперервних на вiдрiзку [x0 −h; x0 + h] функцiй, кожна з яких набуває значень з вiдрiзка

[y0 − b; y0 + b], тобто X = {f | f C[x0−h;x0+h], |f(x) − y0| 6 b}.

402

Ця множина, як замкнена пiдмножина повного метричного простору C[x0−h;x0+h] з рiвномiрною метрикою, є повним метричним простором з цiєю ж метрикою.

x0

[x0 − h; x0 + h] як сума сталої та iнтеграла зi змiнною верхнею межею вiд неперервної функцiї. Крiм того, оскiльки

то образ кожної функцiї y(x) з X належить множинi X, тобто вiдображення F є вiдображенням X в себе. А оскiльки для будь-яких y1(x), y2(x) X

403

x0+h

Z

= L d(y1(x), y2(x))dt = L · hd(y1(x), yy(x)),

x0

то, врахувавши, що L · h < 1, маємо, що вiдображення F є стискуючим. Отже, рiвняння

має єдиний розв’язок Y (x), який задовольняє умову Y (x0) = y0. А оскiльки задача вiдшукання розв’язку цього iнтегрального рiвняння еквiвалентна задачi вiдшукання розв’язку диференцiального рiвняння y0 = f(x, y), причому цей розв’язок має задовольняти початкову умову Y (x0) = y0, то задачу Кошi для останнього рiвняння можна розв’язувати методом послiдовних наближень.

Як iллюстрацiю розглянемо диференцiальне рiвняння

y0 = y + ln x

i будемо шукати розв’язок, який задовольняє початкову умову Y (1) = 1, тобто будемо шукати iнтегральну криву, що проходить через точку M(1, 1). Легко переконатись, що

x

404

яка проходить через точку M0(1, 1).

У прямокутнику D = {(x, y) | |x − 1| 6 12 , |y − 1| 6 12 } функцiя f(x, y) = y + ln x неперервна i для всiх (x, y) D |f(x, y)| 6 2.

Для будь-яких (x, y1), (x, y2) D |f(x, y1) − f(x, y2)| = |y1 − y2|, тобто ця функцiя задовольняє умови Лiпшиця по змiннiй y з константою L = 1. Оскiльки

min 12, 14, 1 = 14 < 1,

то iснує єдина функцiя y = Y (x), визначена i неперервна разом з своєю похiдною на вiдрiзку [34 ; 54 ], яка є розв’язком заданого рiвняння i задовольняє умову Y (1) = 1. Застосувавши метод послiдовних наближень, маємо:

y0(x) = 1,

405

Завдання для самоконтролю.

1.Нехай на множинi X задано двi метрики d1 i d2. Будемо називати їх еквiвалентними, якщо для будь-якої послi-

довностi (xn) lim d1(xn, x0) = 0 тодi i тiльки тодi, коли

n→∞

lim d2(xn, x0) = 0. Довести, що якщо iснують α1 > 0 i

n→∞

α2 > 0 такi, що

α1d1(x, y) 6 d2(x, y) 6 α2d1(x, y)

для будь-яких x, y X, то метрики d1 i d2 еквiвалентнi, пручому з повноти одного з просторiв (X, d1), (X, d2) випливає повнота другого.

2. Довести, що метричнi простори (Rn, di), де

t

406

повнi, а їх метрики еквiвалентнi.

3.Довести, що у повному метричному просторi кожна послiдовнiсть вкладених одна в одну замкнених куль, радiуси яких прямують до нуля, має перетином одноелементну множину.

4.Знайдiть нерухомi точки вiдображення f

а) R2 → R2 за правилом y1 = 2x2 + 3x22, y2 = 2x1 + 3x21; б) R3 → R3 за правилом y1 = x2x3, y2 = 2x1x3,

y3 = 3x1x2;

в) R4 → R4 за правилом y1 = 1 − x2 − x3 − x4,

y2 = 4x1 + 3x3 + x4 − 4, y3 = 2 − 2x1 + 3x2 + x4, y4 = x4.

5. Якi з вiдображень

а) f(x) = x2 на [0; 13];

метрикою є стискуючим?

407

6. Переконайтесь, що система

має єдиний розв’язок, i знайдiть його з точнiстю до 0,01 методом послiдовних наближень, взявши за нулеве наближення точку (0,0,0).

7.Методом послiдовних наближень розв’язати функцiональнi (iнтегральнi) рiвняння:

408

27 ЛЕКЦIЯ: Числовi ряди з дiйсними та компле-

ксними членами

Числовий ряд, його збiжнiсть. Геометрична прогресiя та гармонiйний ряд. Властивостi збiжних рядiв. Ознаки збiжностi рядiв з невiд’ємними членами. Абсолютно ти умовно збiжнi ряди та їх властивостi.

Лiтература. [1] ч. 1, с. 272–275, 283–292; [3] т. 1, с. 477–514; [9], ч. 2, с. 3–25.

Нехай маємо послiдовнiсть (zn) комплексних чисел. Для кожного n iснує число

n

X z1 + z2 + · · · + zn = zk,

k=1

яке є сумою n перших членiв заданої послiдовностi, тобто послiдовнiсть (zn) породжує нову послiдовнiсть (Sn), де

n

X

Sn = zk.

k=1

Застосування до послiдовностi (Sn) основної операцiї аналiзу дає можливiсть поняття суми узагальнити на деякi випадки „сум“ нескiнченного числа доданкiв. Таким узагальненням є поняття ряду i його суми.

Означення 27.1. Символ виду

n=1

називається числовим рядом (або просто рядом), а числа z1, z2, . . . , zn, . . . називають членами ряду.

409

=n+1

називають залишком ряду (27.1) пiсля n-го члена.

Означення 27.2. Якщо iснує

lim Sn = S,

n→∞

то ряд (27.1) називається збiжним, а число S називається його сумою i записують

∞

X

zn = S.

n=1

У противному разi ряд (27.1) називається розбiжним.

C (геометрична прогресiя з першим членом a i знаменником q). Розв’язання. Оскiльки для заданого ряду

Sn = a + aq + · · · + aqn−1,

410