Matanaliz

Уподальшому мова буде йти про вiдображення f : X → Y , i таке вiдображення ми будемо називати неперервним у точцi x0, якщо для будь-якого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх

x B(x0, δ) f(x) B(f(x0), ε). Зауважимо, що при такому означеннi точка x0 не обов’язково має бути граничною вiдносно простору X, тобто вiдображення f неперервне у кожнiй iзольованiй точцi. Вiдображення f : X → Y називають неперервним, якщо воно неперервне у кожнiй точцi x X.

Теорема 25.4 (критерiй неперервностi). Вiдображення f : X → Y неперервне тодi i тiльки тодi, коли прообраз будь-якої вiдкритої (замкненої) множини точок метричного простору Y є вiдкритою (замкненою) множиною точок метричного простору X.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай вiдображення f : X → Y

є неперервним, тобто f неперервне у кожнiй точцi метричного простору X, i нехай GY довiльна, але фiксована, вiдкрита множина точок метричного простору Y . Доведемо, що множина GX = f−1(GY ) є вiдкритою у метричному просторi X. Справдi, якщо GX = , то очевидно, що вона вiдкрита. Якщо ж GX 6= i x0 GX , то f(x0) є точкою вiдкритої множини GY , тобто iснує куля B(f(x0), ε), яка є пiдмножиною GY . А оскiльки вiдображення f неперервне у точцi x0, то для кулi B(f(x0), ε) iснує куля B(x0, δ) така, що f(B(x0, δ)) B(f(x0), ε). Звiдси випливає, що

B(x0, δ) f−1(B(x0, ε)) f−1(GY ) = GX .

Отже, для точки x0 iснує куля B(x0, δ), яка повнiстю мiститься у GX , тобто кожна точка множини GX є внутрiшньою. А це й означає, що множина GX вiдкрита.

Достатнiсть. Нехай прообраз f−1(GY ) кожної вiдкритої множини GY точок метричного простору Y є вiдкритою множиною. Доведемо, що вiдображення f є неперервним.

381

Вiзьмемо довiльну, але фiксовану, точку x0 X i довiльну кулю B(f(x0), ε). Тодi f−1(B(f(x0), ε)) є вiдкрита множина точок метричного простору X, i x0 належить цiй множинi, тобто x0 внутрiшня точка множини f−1(B(f(x0), ε)). Але тодi iснує куля B(x0, δ), яка повнiстю мiститься у множинi f−1(B(f(x0), ε)), тобто B(x0, δ) f−1(B(f(x0), ε)) або f(B(x0, δ)) B(f(x0), ε). А це й означає, що вiдображення f неперервне у точцi x0. Якщо врахувати, що при вiдображеннi f прообраз доповнення є доповненням до прообразу, то доведення теореми для замкнених множин є очевидним.

Приклад 5. Нехай вiдображення A метричного простору C[0;1] з евклiдовою метрикою у метричний простiр R задається у такий спосiб: для будь-якого f C[0;1] Af = f(0) + f(1). Довести, що воно не є неперервним на C[0;1].

Розв’язання. Вiзьмемо точку f0(x) ≡ 0 з C[0;1] i послiдовнiсть (fn(x)) = (xn) точок цього простору. Оскiльки

u

u

t

0

то послiдовнiсть (xn) збiгається до f0. Разом з тим dR(Afn, Af0) = |fn(0)+fn(1)−f0(0)−f0(1)| = 1, тобто вiдповiдна послiдовнiсть (Afn) образiв не збiгається до образу точки f0.

В аналiзi числових функцiй ряд властивостей неперервних функцiй iстотно залежить вiд структури областi, на якiй вони визначенi. Маємо на увазi властивостi неперервних функцiй, визначених на вiдрiзку. В аналiзi вiдображень метричних просторiв роль, подiбну до ролi вiдрiзкiв в аналiзi числових функцiй, вiдiграють так званi компактнi множини.

Означення 25.8. Множина K точок метричного простору X називається компактною множиною, якщо з кожної

382

послiдовностi (xn) точок множини K можна видiлити збi-

жну пiдпослiдовнiсть (xnk ), причому lim xnk K.

k→∞

Наприклад, кожна скiнченна множина будь-якого метричного простору є компактною. Кожна обмежена замкнена множина точок метричного простору Rn з будь-якою метрикою з (25.1) є компактною. Взагалi, кожна компактна множина є обмеженою i замкненою. Разом з тим iснують метричнi простори i у них обмеженi замкненi множини, якi не є компактними. Так у метричному просторi C[a;b] з рiвномiрною метрикою замкнена куля з центром у точцi f0(x) ≡ 0 i радiусом r = 1 є обмеженою i замкненою, однак вона не є компактною множиною. Справдi, якщо припустити, що куля B(f0, 1) = {f | f C[0;1], d(f, f0) 6

1} = {f | max |f(x) − f(x0)| 6 1} = {f | |f(x)| 6 1, x [0; 1]} є

x [0;1]

компактною, i взяти послiдовнiсть (xn) точок з B(f0, 1), то з неї

можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть (xnk ), яка рiвномiрно

збiгається до якоїсь точки f з B(f0, 1). Але яку б пiдпослiдовнiсть (xnk ) послiдовностi (xn) ми не взяли, її границя

(

є функцiя, яка не належить навiть метричному простору C[a;b].

Теорема 25.5 (про неперервний образ компакта) Якщо вiдображення f неперервне на компактнiй множинi K, то f(K) є компактна множина

Доведення. Нехай (yn) довiльна послiдовнiсть точок з множини f(K). Тодi iснує послiдовнiсть (xk) точок множини K така, що для кожного n f(xn) = yn. А оскiльки за умовою K компактна множина, то з послiдовностi (xn) можна видiли-

ти пiдпослiдовнiсть (xnk ) таку, що lim xnk = x0 K. Звiдси, в

k→∞

383

силу неперервностi вiдображення f у точцi x0, маємо, що вiдповiдна послiдовнiсть образiв (f(xnk )) = (ynk ) збiгається до образу точки x0, тобто до точки y0 = f(x0), яка є елементом множини f(K). Отже, з кожної послiдовностi (yn) точок множини f(K) можна видiлити пiдпослiдовнiсть, яка збiгається до точки цiєї множини. А це й означає, що f(K) — компактна множина.

Як наслiдок маємо, що неперервний образ компактної множини є обмежена множина (згадайте першу теорему Вейєрштрасса для числових функцiй, неперервних на вiдрiзку). Для вiдображення f з метричного простору X у множину дiйсних чисел R (метричний простiр з евклiдовою метрикою) може бути сформульованою i друга теорема Вейерштрасса.

Теорема 25.6. Якщо вiдображення f з метричного простору X у метричний простiр R неперервне на компактнiй множинi K (K X), то воно досягає на нiй свого найменшого i найбiльшого значення.

Доведення. Оскiльки за умовою множина K є компактною множиною i вiдображення f неперервне на K, то множина f(K) теж компактна множина, а отже, вона обмежена i замкнена. В силу того, що f(K) є числовою множиною, з її обмеженостi випливає iснування inf f(K) i sup f(K), а з її замкненостi — те, що inf f(K) f(K) i sup f(K) f(K). А отже, iснують точки x1 i x2 у K такi, що для всiх x K f(x1) 6 f(x) 6 f(x2), тобто f(x1) є найменшим, а f(x2) є найбiльшим значенням вiдображення f на компактнiй множинi K.

Щоб перенести теорему Кошi про промiжне значення неперервної на вiдрiзку функцiї на вiдображення з довiльною метрикою простору X у метричний простiр R, крiм поняття компактностi необхiдне ще поняття зв’язностi. Метричний простiр X вважають зв’язним, якщо не iснує вiдкритих непорожнiх пiдмножин A i B таких, що A B = X, A ∩ B = . То от коли вiдображення f з метричного простору x у метричний простiр R

384

є неперервним на компактнiй i зв’язнiй множинi K, i у точках x1 i x2 з K приймає рiзнi значення, то яким би не було число γ мiж f(x1) i f(x2) iснує точка x0 K така, що f(x0) = γ.

Завдання для самоконтролю.

1. Довести, що функцiї

|x − y|

а) d(x, y) = 1 + |x − y|, де x, y R;

p

б) d(x, y) = 2(x1 − y1)2 + 3(x2 − y2)2, де

x = (x1, x2), y = (y1, y2) R2;

надiляють метриками вiдповiдо множини R, R2, C[0;1].

2.Довести, що для будь-яких фiксованих точок a, b метричного простору (X, d) множина A = {x | d(x, a)+d(x, b) < 1}

— вiдкрита, а множина B = {x | d(x, a) + d(x, b) > 1} — замкнена.

3.Якi з множин

1) {f | f(x) > 0};

1

Z

2) {f | x sin(f(x))dx < 1};

0

385

3) {f | f(0) 6 1, f(1) > 1};

1

Z

4) {f | sin(f(x))dx > t, t [0; 1]}.

0

точок метричного простору C[0;1] з рiвномiрною метрикою

є вiдкритими (замкненими)?

4.Знайти границi послiдовностей точок метричного простору R2 з евклiдовою метрикою:

5. Знайти границi послiдовностей точок метричного простору

386

метричний простiр Rm є неперервним у точцi тодi i тiльки тодi, коли є неперервними у цiй точцi координатнi вiдображення.

8.Нехай K1, K2 (K1 ∩ K2 = ) — компактнi множини метричного простору (X, d). Довести, що

inf d(x, y) > 0.

x X,y Y

9.Довести, що вiдображення f : X → Y , неперервне на компактi K (K X), є рiвномiрно неперервним на ньому.

387

26 ЛЕКЦIЯ: Повнi метричнi простори. Теорема

Банаха про стискуючi вiдображення та її застосування

Збiжнi i фундаментальнi послiдовностi точок метричного простору. Повнi метричнi простори. Повнота просторiв Rn з евклiдовою i простору C[a;b] з рiвномiрною метриками. Стискуючi вiдображення. Теорема Банаха (принцип стискуючих вiдображень). Приклади застосувань.

Лiтература. [1], ч. 3, с. 107–111, 127–134; [2], ч. 2, с. 31– 38, 44–49; [3], т. 3, с. 101–107, 111–116; Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972, с. 61–66, 69–78; Maurin K. Analysis, P. 1 – Warshawa, Polish scientific Publishes, 1976, p. 227–232.

Властивiсть неперервностi (повноти) множини дiйсних чисел формулюється у рiзних формах (наявнiсть верхньої межi у множини обмеженої зверху, наявнiсть єдиної спiльної точки у стяжної системи вкладених вiдрiзкiв та iн.). Проте тiльки одна з них, а саме ознака Кошi збiжностi послiдовностi, не використовує при формулюваннi нiяких iнших понять, крiм метричних. Якраз узагальнену ознаку Кошi збiжностi послiдовностi точок метричного простору i було прийнято за означення його повноти, а у 1920 роцi видатним польським математиком Стефаном Банахом було доведено iснування нерухомої точки у так званих стискуючих вiдображень повних метричних просторiв у себе.

Нехай маємо метричний простiр (X, d).

Означення 26.1. Послiдовнiсть (xn) точок метричного простору X називається функдаментальною, якщо для будьякого ε > 0 iснує такий номер n0, що для всiх n > n0 i будьякого натурального p виконується нерiвнiсть d(xn+p, xn) < ε.

Легко переконатись, що кожна збiжна послiдовнiсть є фун-

388

даментальною. Однак можна вказати метричнi простори, у яких iснують функдаментальнi послiдовностi, якi не є збiжними. (Наприклад, у множинi рацiональних чисел Q можна вказати фундаментальну послiдовнiсть, яка не має границi у Q.)

Означення 26.2. Метричний простiр X називається повним, якщо у ньому кожна фундаментальна послiдовнiсть є збiжною.

Теорема 26.1. Послiдовнiсть xk = ((x(1k), x(2k), . . . , x(nk))) точок простору Rn з евклiдовою метрикою є функдаментальною тодi i тiльки тодi, коли фундаментальнi послiдовностi

(x(1k)), (x(2k)), . . . , (x(nk)).

Доведення. Необхiднiсть. Нехай послiдовнiсть (xk) є фундаментальною, тобто для будь-якого ε > 0 iснує k0, що для всiх k > k0 i будь-якого p N виконується нерiвнiсть

Врахувавши, що для кожного i = 1, n

d(x(ik+p), x(ik)) = xki +p − x(ik) 6 d(xk+p, xk) < ε,

маємо, що для будь-якого ε > 0 iснує k0, що для всiх k > k0 i будь-якого p N виконується нерiвнiсть

389

Достатнiсть. Нехай числовi послiдовностi x(ik) (i = 1, n) фундаментальнi. Тодi для будь-якого ε > 0, зокрема для nε , iснує k0(i) (i = 1, n) таке, що для всiх k > k0(i)

Нехай k0 = max k0(i). Тодi для будь-якого k > k0 i будь-якого

i=1,n

p N виконується n нерiвностей виду

n

X

= |x(ik+p) − x(ik)|, i=1

маємо, що для будь-якого ε > 0 iснує k0 таке, що для всiх k > k0 i будь-якого p N виконується нерiвнiсть

А, отже, послiдовнiсть (xk) фундаментальна. Точно у такий саме спосiб можна довести

390