Diskretna_Ispit_Avtosokhranenny__Avtosokhranen

відображенням множини A на себе. Елементи (a, a) A×A утворюють тотожне відображенняЕ, причому f ◦ f –1 = f –1◦ f = E.

Означення 3.5. Відображення множини в її фактор-множину називається

к нонічною сюр’єкцією.

14. Композиція відобр жень. Вл стивості композицій. Суперпозиція.

Композиція (с е з ці ) функцій (ві ажень) в математиці — функція, побудована з двох функцій таким чином, що результат першої функції є аргументом другої.

Композиція функцій f: X → Y та g: Y → Z будується так: аргумент x з X застосовується до першої функції f, а її

результат y з Yзастосовується в якості аргумента до другої функції g.

Властивості

Композиція функцій є асоціативною, тобто, f o (g o h) = (f o g) o h. Композиція функцій називається комутативною, якщо g o f = f o g.

Якщо Y X, то можна ввести поняття вл сної композиції функції f, тобто:

(f o f)(x) = f(f(x)) = f2(x)

(f o f o f)(x) = f(f(f(x))) = f3(x)

f o fn = fn o f = fn+1

Функція fn також називається степенем функції f.

15.Відношення еквів лентності. триця т гр ф відношення еквів лентності. Прикл д.

Означення 4.1. Бінарне відношення на множині A називається відношенням еквів лентності, якщо це відношення є рефлексивним, симетричним та транзитивним.

Відношення еквівалентності будемо позначати символом “≡”.

Прикладом відношення еквівалентності є відношення рівності чисел чи множин, геометричне відношення подібності трикутників, відношення паралельності прямих у евклідовому просторі. Відношення “жити в одному місті” є також відношенням еквівалентності. Множина всіх громадян (або мешканців) України, розбивається останнім відношенням на підмножини, що не перетинаються. Два мешканця вважаються еквівалентними по цьому відношенню, якщо вони живуть в одному й тому самому місті, тобто вони мають одну й ту саму властивість – “мешкати у місті X”. З іншого боку не можна жити одночасно в двох різних містах, тому множини мешканців різних міст не перетинаються. Таким чином відношення “жити в одному

11

місті” б’є множину всіх мешканців України на ряд підмножин, що не перетинаються, таких, що у кожній підмножині всі мешканці еквівалентні по цьому відношенню і жодні два мешканці різних підмножин не знаходяться у цьому відношенні, тобто не еквівалентні один одному. Такі підмножини мають назву класів еквівалентності.

триця т гр ф

Нехай відношення еквівалентності задано на множині A. Елементи, що належать одному класу еквівалентності, попарно еквівалентні між собою. Отже, стовпці матриці відношення еквівалентності для елементів одного класу еквівалентності однакові та містять одиниці у всіх рядках, які відповідають цим елементам. Оскільки класи еквівалентності не перетинаються, у стовпцях, які відповідають елементам різних класів, не буде одиниць в одних і тих самих рядках.

При побудові матриці відношення розташуємо елементи множини так, щоб ті елементи, які належать одному класу еквівалентності, були поруч. Тоді одиничні елементи матриці відношення еквівалентності утворять непересічні квадрати, діагоналі яких розташовуються на головній діагоналі матриці.

Граф відношення еквівалентності також має характерний вигляд. Це граф, кожна компонента з’єднання якого, що відповідає класу еквівалентності, є повним підграфом із петлями на кожній вершині.

16.Кл с еквів лентності.

Кл с еквів лентності елемента множини за заданим на цій множині відношенням еквівалентності є підмножина множини , що складається з елементів еквівалентних :

Класи еквівалентності між елементами структур часто використовуються для отримання меншої структури, елементами якої є класи. Зв'язок кожного елемента класу поділяється принаймні з одним іншим елементом іншого класу. Клас можна вважати тотожністю одного з оригінальних елементів.

Множина всіх класів еквівалентності множини називається фактормножиною і є розбиттям множини

Кожен елемент x з X є членом класу еквівалентності [x]. Кожні два класи еквівалентності [x] і [y] або дорівнюють, або не перетинаються. Таким чином, множина всіх класів еквівалентності X утворює розбиття

12

множини X: кожен елемент X належить одному і тільки одному класу еквівалентності.

x ~ y, тоді і тільки тоді, коли x і y належать до одного і того ж самого розділу множини.

З властивостей відношення еквівалентності випливає, що

x ~ y, тоді і тільки тоді, коли [x] = [y].

Іншими словами, якщо ~ є відношення еквівалентності на множині X, то ці твердження еквівалентні:

.

17.Відношення нестрогого порядку. Відношення строгого порядку. Прикл ди.

Означення 4.3. Бінарне відношення на множині A називається відношенням нестрогого порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне та транзитивне.

Часто відношення нестрогого порядку позначають як “≤”, оскільки нестрога нерівність є прикладом відношення нестрогого порядку в множині Z або R. Як приклад відношення нестрогого порядку в множині людей можна назвати відношення “бути не старшим” або “бути не молодшим”.

Означення 4.4. Бінарне відношення на множині A називається відношенням строгого порядку, якщо воно асиметричне та транзитивне. Для позначення відношення строгого порядку зазвичай використовується символ “<” або “ p ”. Як приклад відношення строго порядку можна навести відношення строгої нерівності на множинах цілих або дійсних чисел, а також відношення “бути молодшим” або “бути старшим” у множині людей. Якщо виконується співвідношення x<y (або x≤y), то кажуть що елемент x передує y, а y іде за x.

18. Упорядков н множин . Ді гр м впорядков них множин.

Множина, в якій визначено відношення порядку (строгого або нестрогого), називається упорядков ною, і кажуть, що порядок уведено цим відношенням. Це позначають наступним чином: < A, ≤ >.

Означення 4.5. Множина A називається лінійно ( бсолютно) впорядков ною, якщо для будь-яких двох її елементів x та y виконується x<y або y<x (x≤y або y≤x). Лінійно впорядкована множина зі строгим порядком також називається л нцюгом.

13

Наприклад, множина дійсних чисел з відношенням порядку “<” є лінійно впорядкованою.

Може виявитись, що для деяких пар (x, y) жодне зі співвідношень x<y або y<x не виконується. Такі елементи x та y називаються незрівнянними. У цьому випадку кажуть, що множина є частково впорядкованою.

Розглянемо наступний приклад. Нехай є множина A = {1, 2, 3} та її булеан

P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Визначимо відношення

R на Р(A) наступним чином: (X, Y) R: X Y. Таким чином, ({2}, {1,2}) R,

тому що {2} {1, 2}, але ({1,2}, {2}) R, тому що {1,2} / {2}. Легко перевірити, що побудоване відношення:

рефлексивне: X P(A) | X X. антисиметричне: X Y та Y X X=Y. транзитивне: X Y та Y Z X Z

Ді гр ми впорядков них множин

Граф відношення порядку буде містити велику кількість транзитивно замкнених дуг.

Тому він буде виглядати занадто складно. Тож для відношення порядку зазвичай будується діаграма Гассе, яка відображає відношення домінування. Означення 4.9. Нехай А – частково впорядкована множина з відношенням порядку ≤ і x, y A. Говорять, що елемент y домінує над елементом x, якщо y>x і ні для якого елементу z A невірно, що y>z>x.

19.Подвійне відношення ч сткового порядку. Принцип подвійності.

ее а.

Для отримання теореми, подвійної до даної, всі вислови і поняття, що відносяться до порядку, замінюються на подвійні (тобто всі знаки порядку < замінюються на >, і навпаки), а загально-логічні терміни залишаються без змін.

Доведення.

Нехай R-1 – відношення, обернене до відношення часткового порядку R. Покажемо, що R-1 є відношенням часткового порядку.

1. рефлексивність: оскільки I R, то I = I-1 R-1

14

2.транзитивність: якщо R◦R R, то R-1◦R-1 = (R◦R)-1 R-1.

3.антисиметричність: якщо R∩R-1 I (умова антисиметричності), то R- 1∩R I

Відношення часткового порядку R-1 називається подвійним до відношення ч сткового порядку R. Відношення ≤-1позначається ≥ і a≤-1b означає a≥b. Якщо a≤b абоb≤a, то a, b називаються елементами, що порівнюються відносно порядку ≤.

Із справедливості деякого твердження для конкретної частково впорядкованої множини (або для конкретного класу частково впорядкованої множини ) ще не витікає справедливість подвійного твердження для цієї множини. Так, частково впорядкована множина може мати найменший елемент, але не мати найбільшого, вона може задовольняти умові мінімальності, але не задовольняти умові максимальності. Справедливість принципу подвійності витікає з того, що відношення, зворотне до часткового порядку, саме є частковим порядком. Інколи під принципом подвійності розуміють саме це твердження.

20.Потужність множин. Вл стивості потужностей скінченних множин.

Потужність множини, або к рдин льне число множини, —

характеристика множин (у тому числі нескінченних), що узагальнює поняття кількості (числа) елементів скінченної множини.

Воснові цього поняття лежать природні уявлення про порівняння множин:

1.Будь-які дві множини, між елементами яких може бути встановлено взаємно однозначну відповідність (бієкція), містять однакову кількість елементів (мають однакову потужність).

2.Зворотно: множини, рівні за потужністю, мусять допускати таку взаємно однозначну відповідність.

3.Частина множини не перевершує повної множини за потужністю

(тобто за кількістю елементів).

До побудови теорії потужності множин, множини розрізнялися за ознаками: порожня/непорожня і скінченна/нескінченна, також скінченні множини розрізнялися за кількістю елементів. Нескінченні ж множини не можна було порівняти.

Потужність множин дозволяє порівнювати нескінченні множини. Наприклад зліченні множини є самими «маленькими» нескінченними множинами.

15

Потужність множини позначається через . Сам Кантор використовував позначення . Іноді використовують позначення або .

Властивості

Дві скінченні множини рівнопотужні тоді й тільки тоді, коли вони складаються з однакового числа елементів. Тобто для скінченної множини поняття потужності збігається із звичним поняттям кількості.

Для нескінченних множин потужність може збігатись з потужністю своєї власної підмножини, наприклад .

Більш того, множина нескінченна тоді і тільки тоді, коли вона містить рівнопотужну власну (тобто таку, що не збігається з основною множиною) підмножину.

Теорема Кантора гарантує існування потужнішої множини для будь-якої

Потужність декартового добутку:

Формула включення-виключення в найпростішому виді:

21.Зліченні множини т їх вл стивості.

Означення 5.3. Потужністю зліченної множини називається потужність множини натуральних чисел N. Зліченною називається всяка множина A, рівнопотужна множині натуральних чисел N. Потужність зліченної множини позначається кардинальним трансфінітним числом 0 (читається: алеф-нуль).

Властивості

1.Будь-яка підмножина зліченної множини або зліченна, або скінченна.

2.Об'єднання скінченної або зліченної кількості зліченних множин є зліченним.

3.Декартів добуток скінченної кількості зліченних множин є зліченним.

4.Множина всіх скінченних підмножин зліченної множини є зліченною.

16

5.Якщо множина A нескінченна, а множина B скінченна або зліченна, то A B — рівнопотужна A.

6.За теоремою Кантора, потужність довільної множини є меншою, ніж потужність її булеану (множини всіх її підмножин). Звідси випливає, що булеан множини натуральних чисел є незліченною множиною.

22.Незліченні множини т їх вл стивості

Теорема 5.7. Якою б не була множина A, множина її підмножин має потужність, яка строго більша потужності A.

Ця теорема показує, що послідовність трансфінітних кардинальних чисел не обмежена.

Доведення. Припустимо, що існує сюр’єкція f: A→P(A), тобто сюр’єкція f множини A на множину її підмножин P(A). Тоді для x A f(x) є елементом P(A), тобто деякою підмножиною A. Позначимо через B підмножину A, яка утворена з таких x A, що x f(x). Так як B P(A), то в A існує принаймні один елемент y такий, що f(y) = B. Якщо y f(y) = B, то, за визначенням множини B, y B, що неможливо. Якщо y f(y) = B, то y B. В обох випадках ми приходимо до протиріччя.

Однак, оскільки існує ін’єкція A в P(A), а саме x → {x}, то A має потужність, яка менша за потужність P(A), а, значить, і строго менша потужності P(A). ► Теорема 5.8. Якщо множина A нескінченна, то множина P′(A) скінченних підмножин A рівнопотужна множині A.

Цю теорему легко довести, проводячи міркування аналогічно тим, які наведені у прикладі про потужність всіх скінченних послідовностей натуральних чисел.

23.Теорем К нтор (про незліченні множини)

Теорема 1. Множина всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) незліченна. Доведення. Відомо, що кожному дійсному числу з інтервалу (0,1) можна поставити у відповідність нескінченний десятковий дріб 0,a1a2a3.... Для ірраціональних чисел цей нескінченний десятковий дріб є неперіодичним. Для кожного раціонального числа, яке зображується скінченним десятковим дробом, з двох можливих варіантів запису його у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу (з періодом 0 або періодом 9) зафіксуємо період 9. Наприклад, число 0,123 (або 0,123000...) будемо записувати у вигляді 0,122999..., а число 0,7 - у вигляді 0,699.... Очевидно, що

запропонована відповідність буде взаємно однозначною.

Проведемо доведення теореми методом від супротивного. Припустімо, що сформульоване твердження хибне і множина всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) зліченна. Тобто існує нумерація цих чисел x1,x2,...,xn,.... Перепишемо у

17

вигляді нескіченних десяткових дробів усі числа з інтервалу (0,1) в порядку

...............................

Рухаючись по діагоналі (вказаної стрілками), утворимо новий нескінченний десятковий дріб 0,b1b2...bn... такий, що b1 a11, b2 a22,...,bn ann,.... Додатково для того, щоб уникнути ситуації з можливістю зображення одного й того ж раціонального числа у двох формах, будемо вибирати значення цифр bi так, щоб bi 0 і bi 9, i=1,2,.... Утворений дріб є записом деякого дійсного числа y з інтервалу (0,1), однак він не належить розглядуваній зліченній множині. Справді, побудований дріб відрізняється від кожного з дробів нашої нумерації x1,x2,...,xn,... принаймні однією цифрою. Точніше, y xn тому, що дроби y і xn відрізняються принаймні n-ю цифрою після коми (n=1,2,...). З одержаної суперечності випливає, що не існує переліку для множини всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1). Отже, припущення щодо її зліченності хибне і розглядувана множина - незліченна. Теорема доведена.

Нехай, без обмеження загальності, множини A та B не перетинаються. Для будь-яких a в A чи b в B, ми можемо сформувати унікальну двосторонню послідовність елементів, що поперемінно належать A та B, шляхом

почергового застосування та йдучи вправо і та вліво (де вони визначені).

Для будь-якого конкретного a, ця послідовність може припинитися в

точці, де чи не визначені або не закінчуватися, якщо вони всюди визначені.

елементі з B. Інакше, назвемо її ві н ез ежн ю, якщо всі елементи різні чи циклічною, якщо вони повторюються.

У силу того, що та є ін'єктивними функціями, кожен

елемент a в A та b в B буде зустрічатися лише в одній такій послідовності, оскільки якщо б елемент зустрічався в двох послідовностях, всі елементи зліва і справа повинні були б бути однакові в обох з них, за визначенням.

У силу вище сказаного описані послідовності

формують розбиття об'єднання множин A і B. Для A-с а функція є бієкцією між елементами множин A і B в цій послідовності. Для B-

с а функція є бієкцією між елементами множин B і A в цій послідовності. Для подвійно безмежної чи циклічної послідовності можна використати будь-яку з двох функцій.

25.Опер ції н множині к рдин льних чисел.

Дод в ння

Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A B , де А та В - довільні множини, що не перетинаються такі, що: a=[A], b=[B]. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.

ноження

Добутком двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини , де a=[A], b=[B], А та В-довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.

Піднесення до степеня

Степенем кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини , де a=[A], b=[B].

26.Потужність континууму. Прикл ди множин потужності континууму. Континуум-гіпотез .

Континуум-гіпотез — гіпотеза, яка висунув Георг Кантор у 1877 і згодом безуспішно намагався її довести, можна сформулювати таким чином:

Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Давид Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі 1900 року. Тому континуум-гіпотеза відома також як перш проблем Гільберт .

19

1940 року Курт Гедель довів (в припущенні несуперечності системи аксіом Цермело-Френкеля (ZF)), що виходячи з аксіом теорії множин разом з аксіомою вибору, континуум-гіпотезу не можна спростувати; а 1963 року американський математик Пол Коен довів (також в припущенні несуперечності ZF), що континуум-гіпотезу не можна

довести, виходячи з тих же аксіом. Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZF.

Уз г льнен континуум-гіпотез стверджує, що для будь-якої нескінченної множини S, для кожної множини кардинальне число якої більше, ніж у S, це кардинальне число є більшим або дорівнює 2S.

Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як довели Серпінський 1947 р. і Шпеккер 1952 р., з неї випливає аксіома вибору.

27.Основні пинципи комбін торики: пр вило множення т пр вило суми.

Комбінаторика – це розділ математики, який вивчає розміщення об’єктів у відповідності з спеціальними правилами і методи підрахунку кількості все можливих способів, якими ці розміщення можуть бути зроблені.

Методи комбінаторики відіграють важливу роль при обчисленні ймовірностей різноманітних подій, зв’язаних з експериментами, що мають скінчену кількість результатів.

Розглянемо основні поняття комбінаторики.

Основний принцип комбінаторики ( правило множення). Нехай потрібно виконати одну за одною дій. Якщо першу дію можна виконати способами, другу – способами і так далі, -ту дію – способами, то дій разом можна виконати к 1 n 2 n к nkкnnn k … 21 способами.

Правило суми[ред. • ред. код]

В основі розв'язання багатьох задач комбінаторики лежать два простих правила — ав л с та ав л . П ав л с стверджує, що якщо є можливість вибрати елемент з деякої множини елементів А способами, а елемент з множини В, яка не має спільних елементів з множиною А, — способами, то вибрати елемент множини А або елемент множини В можна способами.

Це правило зручно продемонструвати з допомогою такої моделі. Якщо маємо дві урни і в одній з них знаходиться куль, а в іншій , то кількість способів, якими можна буде вийняти кулю з тієї чи іншої урни, дорівнюватиме .

Дійсно, з першої урни кулю можна вийняти способами, але якщо з першої урни кулю не виймати, то тоді з другої урни її можна вийняти способами.

20