29. Статистические оценки параметров распределения.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Несмещённой называют статистическую оценку Ө*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Ө при любом объёме выборки, т.е.

M(Ө*)= Ө

Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объёме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объёма (n велико!) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n →∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещённой оценки при n→∞ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

30. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Выборочная дисперсия

Для того чтобы охарактизировать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения вводят сводную характеристику –выборочную дисперсию. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения если все значения признака выборки объема nразличны, то если же значения признака имеет соответственно частоты причем т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешаная квадратов отклонения с весами , равными соответствующим частотам. Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением. Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Выборочной средней наз.среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

1) х₁,х₂,…,х_n -все различны

n-объём выборки

2) х₁,х₂,…,х_k -появляются с опред.частотой.

x₁ – появляется n₁ раз

x₂ – n₂

x_k – n_k

31. Точечная и интервальная оценки. Доверительный интервал.

Точечные оценки

Точечной нзв оценку, к-рая опред-ся одним числом, например: генеральная средняя, выборочная средняя, групповая и общая средние, генеральная дисперсия, выборочная дисперсия и др.

x_i – значения выборки

При выборке малого объема точечная оценка может знач.отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется 2 числами, концами интервала. Задачу интервального оценивания можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал (Ө1*;Ө 2*), относительно которого с заранее выбранной вероятностью γ можно утверждать, что внутри этого интервала находятся точные значения оцениваемого параметра. Интервал (Ө1*;Ө 2*), накрывающий с вероятностью γ истинное значение параметра Ө наз-ся доверительным интервалом. А вероятность γ наз-ся надежностью оценки или доверит. вероятностью. Часто дов. интервал выбирается симметрично относительно несмещенной точечной оценки Ө*, т.е. выбирается интервал вида (Ө*-ε; Ө*+ε) такой, что Р(|Ө-Ө*|<ε)=γ. Число ε>0 наз-ся точность оценки.