12. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.

Опр.: Закон распределения СВ – это всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими ими вероятностями. Говорят, что СВ распределена по данному закону или подчинена этому закону распределения.

ЗАКОН распределения ДСВ может быть задан в виде таблицы:

х1	х2	…	хn
p1	p2	…	pn

Х:

- ряд распределения ДСВ

где, х_1, х_2,…, х_n – возможные значения СВ, в порядке возрастания

p₁, p₂,..., p_n – соответствующие им вероятности.

Очевидно, что суммы вероятностей p_i=1

Т.к.события Х=х, х=1,…,х= х_n образуют полную группу событий.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек, соединенных отрезками

Многоугольники унимодального (а), полимодального (б) и антимодального (в) распределений.

13. Функция распределения и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал.

Опр.: ф-я распределения С.В.Х. называется ф-я F(x)выражающая для каждого Х вероятность того,что примет значение:F(x)=P(x<x)

Ф-я F(x) называется интегральная ф-я распределения.

Св-ва ф-ии F(x):

1)0<=F(x)<=1;2)F(x)-неубыв.ф-я на всей числовой оси.;

3)4)P(x1<=x<=x2)=F(x2)-F(x1)

График:составим ф-ю распределения F(z)=?

1)z<=-1следовательно F(z)=P(z<z)=0

2)-1<z<=0след-ноF(z)=P(z<z)=P(z=-1)=0,08;

3)0<z<=1cлед.F(z)=P(z<z)=P(z=-1)+P(z=0)=0,34

4)1<z<=2 F(z)=p(Z<z)=P(Z=-1)+P(Z=0)+

P(Z=1)=0,08+0,26+0,22=0,56

0,08;-1<z<=0

F(X)= 0,34;0<z<1

0,56;1<z<=2

0,76;2<z<=3

0,96;3<z<=4

1;z>4

Вероятность того, что значение дискретной случайной величины F_x (x) попадает в интервал (a, b), равнаяP(a < x < b) = F_x (b) -F_x (a), вычисляется по формулам:

Если a= - , то  ,

если b= , то .

14. Плотность распределения и ее свойства. Вероятностный и геометрический смысл плотности распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной С.В. называют первую производную от ф-ии распределения:f(x)=F(x)

Св-ва:1)плотность распределения неотриц.,т.е.f(x)>=0

2)вер-ть попадания непрерывнрой С.В. в интервал(а,в)равна интервалу от ее плотности вероятности в пределах от а до в P(a<x<b)=

Геометрически,полученная вероятность равна S фигуры ограниченной сверху кривой распределения и опирается на отрезок ав

15. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Математическим ожиданием(средним значением)называют сумму следущего ряда,если он сходится М(х)=

Св-ва М(х):1)М(с)=с:2)М(к*х)=к*М(х),к-постоянная величина,К=const

Док-во:М(К*Х)=

3)Математическое ожидание

M(x+-y)=M(x)+-M(y)

M(x*y)=M(x)*M(y)

M[x-M(x)]=0

16. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины и ее свойства.

Опр:дисперсией D(x) С.В.Х. называется математическое ожидание квадрата ее отклонение от математического ожидания D(x)=M[(x-

Если С.В. дискретная с конечным числом значений,то

D(x)=,где а= М(х)

Если С.В.Х дискретная с бесконечно счетным,множеством значений,тогда дисперсия D(x)=,a=M(x),если ряд в правой части сходится

Опр:Средним квадратическим отклонением (х) С.В.Х. называется число

Замечание:матем.ожидание М(х) характеризует среднее значение С.В.

Дисперсия D(x)характеризует квадратичное отклонение С.В. от среднего значения:

Св-ва D(x): 1)D(c)=0: 2)D(k*x)=*D(x)

Док-во:D(k*x)=M=

M=

3)дисперсия D(x+-y)=D(x)+D(Y)

4)D(x)=M(x²)-(M(x))²

Док-во:D(x)=M(x-M(x))²)=M(x²-2x*M(x)+M²(x))=M(x²)-2M(x)*M(M(x))+M(M²(x))=M(x²)-2M(x)*M(x)+M²(x)=M(x²)-M²(x)

M(x) M²(X)-постоянные величины

17. Математическое ожидание и дисперсия числа появления события в независимых опытах.

Пусть производится n независимых опытов, ве­роятность появления события в каждом из которых равна Р. Чис­ло появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х распределённой по биномиальному закону. Однако, непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно:  Число   появления события в n опытах состоит из числа появлений события в отдельных опытах, т.е.

где  имеет закон распределения (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).

	0	1
Р	1-р	р

 

 

 

 

Поэтому

или

т.е. среднее число появлений события в n независимых опытах равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.

Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,1, то среднее число попадания в 20 выстрелах равно 20×0,1=2.

Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равна р. Выразим, как и прежде, число появления события Х через число появления события в отдельных опытах

Так как опыты независимы, то и связанные с опытами случайные величины  независимы. А в силу независимости  имеем

	0	1
Р	1-р	р

 

 

 

 

Но каждая из случайных величин имеет закон распределения и , поэтому по определению дисперсии

,

где q=1-p

В итоге имеем , 

Среднее квадратическое отклонение числа появления событий в n независимых опытах равно .