7.Формула полной вероятности.

Опр.: пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н₁, Н₂,…,Н_n образующих полную группу несовместных событий, тогда соб. Н₁, Н₂,…,Н_n называются гипотезами.

Теорема: вероятность соб.А наступающего совместно с гипотезами Н₁, Н₂,…,Н_n равна:

- формула полной вероятности

где, Р(Н_i) – вероятность i-той гипотезы

Р_Нi(А) – вероятность соб.А при условии реализации гипотезы Н_i

Доказательство: соб.А можно считать суммой попарно несовместных событий АН_1, АН₂, …АН_n несовместные события, тогда из теорем сложения вероятностей:

Р(А)+Р(АН₁+…+ АН_n)=Р(АН₁)+…+Р(АН_n)=

=Р_Нi(А)* Р(Н₁)+…+ Р_Нn(А)* Р(Н_n)=

8. Формула Бейеса.

Теорема гипотез (формула Байеса) – следствие теоремы умножения и ф-лы полной вероятности. Имеется группа несовместных гипотез H1,H2...Hn, чьи вероятности равны соответственно P(H1),P(H2)...P(Hn). В рез. Σ происходит событие А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением А (найти условную вероятность P(Hi|A))? Выражая P(A) из ф-лы полной вероятности, имеем соотношение Байеса: .Док-во: вероятность появления А опред. по ф-ле полной вероятности: . Поищем условные вероятности при условии, что произошло событие А. По теореме умножения имеем . Подставим P(A), получим . чтд. Ф-лы Байеса позволяют переоценить вероятности после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

9. Формула Бернулли.

Пусть производится серия из n независимых испытаний и в каждом испытании событие А наступает с одной и той же вероятностью P(A)=p и не наступает с вероятностью . Условно появление события А называется «успехом», а не появление - «неудачей». Испытания называются независимыми, если исход каждого последующего не зависит от исходов предыдущих испытаний. Последовательность независимых испытаний такого рода называется схемой Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет ровно m раз – P_n (m). Тогда имеет место формула Бернулли: P_n (m)=.

Доказательство: Рассмотрим серию из n испытаний, в которых событие А произошло m раз: .Вычислим вероятность этого произведения: P (==p^mq^{n – m} . P_n (m)=.

10. Формула Пуассона и условия ее применимости.

Использование формулы Бернулли при больших n и m вызывает трудности из-за громоздких вычислений => возникает необходимость в отыскании вероятности обеспечивающих необходимую точность.

Теорема: если число испытаний неограниченно увеличивается n и вероятность р наступления соб.А в каждом испытании уменьшается р, но так что их произведение n*p остается величиной постоянной (λ=np=const), то вероятность

Доказательство: λ=np => p=λ/n подставляем это равенство в формулу:

===

Перейдем к пределу в обеих частях неравенства при n:

,

=>

Формулу Пуассона применяют обычно когда n≥50, np≤10

11. Дискретные случайные события и возможности их описания.

Опр.: СВ- это переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений. (Примеры: число бракованных изделий в данной партии, расход электроэнергии предприятия)

Опр.: ДСВ – это СВ с конечным или бесконечным, но счетным множеством её значений (см.выше 1-ый пример)

Для случайных величин (далее - СВ) приходится использовать особые, статистические методы их описания.

Дискретное описание заключается в том, что указываются все возможные значения данной величины (например - 7 цветов обычного спектра) и для каждой из них указывается вероятность или частота наблюдений именного этого значения при бесконечно большом числе всех наблюдений.

Доказанно, что при увеличении числа наблюдений в определенных условиях за значениями некоторой дискретной величины частота повторений данного значения будет все больше приближаться к некоторому фиксированному значению - которое и есть вероятность этого значения.