12. Закон больших чисел.

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимают совокупность теорем, в которых утверждается, что существует связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.

12.Неравенство Чебышёва. теорема Чебышева. Лемма Чебышева (Маркова). Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого a>0 имеет место неравенство:

(2.14.1)

12.Неравенство Чебышева. Если случайная величина Х имеет математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого e>0 имеет место неравенство:

(2.14.2)

Неравенство Чебышева является в теории вероятностей общим фактом и позволяет оценить нижнюю границу вероятностей.

12.Теорема. Закон больших чисел Чебышева. Пусть Х₁, Х₂, ..., Х_n - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии, ограниченные сверху постоянной C=const (D(X_i) £ C(i=1, 2, ..., n)). Тогда для любого e>0:

(2.14.3)

Теорема показывает, что среднее арифметическое большого числа случайных величин с вероятностью сколь угодно близкой к 1 будет мало отклониться от среднего арифметического математических ожиданий.

Следствие 1. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна p, m - число наступлений события А в серии из n независимых испытаний, то, каково бы ни было число e > 0 имеет место предел:

(2.14.4)

Таким образом устанавливается связь между относительной частотой появления события А и постоянной вероятностью p в серии из n независимых испытаний.

Следствие 2. Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний вероятность появления события А в k-ом испытании равна p_k, то

где m-число появлений события А в серии из n испытаний.

Следствие 3. Теорема Бернулли. Если Х₁, Х₂, ..., Х_n - последовательность независимых случайных величин таких, что

М(Х₁)=М(Х₂) = ... = М(Х_n)=а,

М(Х₁)<C, D(X₂)<C, ..., D(X_n)<C, где С=const,

то, каково бы ни было постоянное число e > 0 имеет место предел:

(2.14.5)

Этот частный случай закона больших чисел позволяет обосновать правило средней арифметической.

Законы больших чисел не позволяют уменьшить неопределенность в каждом конкретном случае, они утверждают лишь о существовании закономерности при достаточно большом числе опытов. Например, если при подбрасывании монеты 10 раз появился герб, то это не означает, что в 11 раз появится цифра.

12.Правило трех сигм.

Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ), то практически достоверно, что абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е.Другими словами, если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале

Воспользуемся

Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределённой по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит по абсолютной величине величину равна

Доказательство.

Из последнего равенства можно сделать вывод о том, что нарушение "правила трёх сигм", т.е. отклонение нормально распределённой  случайной величины X больше, чем на (по абсолютной величине), является событием практически невозможным, так как его вероятность достаточно мала: