4.8. Выборочное корреляционное отношение

Выборочный коэффициент корреляции вводится для оценки тесноты линейной корреляционной связи. Для оценки тесноты любой (в том числе и нелинейной) корреляционной связи вводятся новые характеристики:

- выборочное корреляционное отношениеY кX ;

- выборочное корреляционное отношениеX кY .

Выборочным корреляционным отношением Y кX называют отношение межгруппового среднего квадратичного отклонения к общему среднему квадратичному отклонению признакаY :

, (4.17)

где

;

;

n – объем выборки;n_x – число появлений (частота) значенияxпризнакаX ;n_y - частота значенияy признакаY ;- общая средняя признакаY ;- условная средняя признакаY.

Выборочное корреляционное отношение X кY определяется аналогично. Чтобы получить определение, нужно в определениивезде поменять местамиxиy, а такжеX иY .

Пример 4.7. Найтипо данным наблюдений, сведенным в корреляционную таблицу.

X Y	3	5	7	9	ny
2	1	7	8	3	19
4	7	3	1	6	17
6	2	0	1	1	4
nx	10	10	10	10	n = 40
	4,2	2,6	2,6	3,6

Решение. Условные средниеможно понимать как групповые средние. Групповая средняя группы, соответствующейx = 3, равна

;

Другие групповые средние равны:

;

;

.

Общая средняя равна

Межгрупповое среднее квадратичное отклонение равно

Общее среднее квадратичное отклонение равно

Следовательно, выборочное корреляционное отношение равно

4.9. Свойства выборочного корреляционного отношения

Выборочные корреляционные отношения иобладают одинаковыми свойствами. Поэтому далее перечислены без доказательств свойства выборочного корреляционного отношения(для упрощения записи оно обозначено).

1. Выборочное корреляционное отношение удовлетворяет двойному неравенству

.

2. Если = 0 ,то признак Y не связан с признаком X корреляционной зависимостью.

3. Если = 1 ,то признак Y связан с признаком X функциональной зависимостью.Справедливо и обратное утверждение: если признакY связан с признакомX функциональной зависимостью, то= 1 .

При возрастании значения признакаY внутри всех групп, соответствующих различным наблюдаемым значениямx признакаX , будут все меньше различаться между собой, корреляционная связь междуY иX будет становиться все теснее и при= 1 превратится в функциональную.

4. Выборочное корреляционное отношение не меньше абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции:

.

5. Если выборочное корреляционное отношение равно абсолютной величине выборочного коэффициента корреляции, то между признаками Y и X имеет место точная линейная корреляционная зависимость.Верно и обратное утверждение: если между признакамиYиXимеет место точная линейная корреляционная зависимость, то.

Достоинством выборочного корреляционного отношения является то, что оно служит мерой тесноты связи любой формы, в том числе и нелинейной. Таким образом, является более общей характеристикой связи, чем выборочный коэффициент корреляции, который служит мерой тесноты лишь линейной связи. Недостатком выборочного корреляционного отношения может считаться то, что оно никак не указывает, какая именно (линейная, параболическая, гиперболическая, ..) форма связи имеет место между признаками.

Вычислять корреляционное отношение имеет смысл, если связь между признаками далека от линейной (). Более строгая оценка линейности связи может быть получена с помощью критерия, гдеk =- мера криволинейности,δ_k – основная ошибка мерыk , вычисляемая по формулеδ_k =. Если

t_э <t_α , связь может быть признана линейной.

Значимость корреляционного отношения определяется критерием , где. Если вычисленноеt_э больше табличного (Приложение 4) приf =n – 2 , то найденный значимый.

Доверительный интервал для корреляционного отношения , соответствующего генеральной совокупности, находят в виде.