4.6. Доверительный интервал для генерального коэффициента корреляции.
Выборочный коэффициент корреляции rв признаковX иYвычисляется по выборке (то есть по малой части генеральной совокупности), поэтому значениеrв практически всегда отличается от значения коэффициента корреляцииrГ признаковX иY в генеральной совокупности.
Доверительный интервал для неизвестного генерального коэффициента корреляции rГ имеет вид
rв -tγdr ≤rГ ≤rв +tγdr ,
где dr – основная ошибка коэффициента корреляции:
dr =
для больших выборок (n≥ 100), и
для выборок малого объема n .
Прежде чем по величине найденного rв делать какие-либо заключения, необходимо установить степень надежности его значения, вычислив показатель его достоверности
.
Если этот показатель окажется меньше трех, наличие корреляционной связи не может считаться доказанным, так как значение rв оказалось недостоверным.
Значимость коэффициента корреляции rвопределяется по критериюtr. Если вычисленное значение критерияtr больше табличного (Приложение 4) приf =n – 2 , то найденныйrв значимый.
Значимость коэффициента корреляции может быть проверена и по таблице критических значений коэффициента корреляции (Приложение 8) при f =n . Если найденное значениеrв больше табличногоr0,05 , то найденныйrв является значимым.
Пример 4.4. Для 15-ти тридцатилетних, наугад взятых стволов деревьев измерены на высоте 1,3 м от земли диаметр (X) и прирост (Y) за 10 лет по этому диаметру. Результаты измерений приведены в таблице и даны в сантиметрах.
|
Диаметр xi ,см |
8 |
7 |
9 |
11 |
10 |
12 |
14 |
12 |
15 |
13 |
14 |
15 |
20 |
18 |
17 |
|
Прирост диаметра yi , см |
0,6 |
0,5 |
1,0 |
1,3 |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
1,3 |
2,8 |
2,0 |
2,2 |
2,5 |
3,3 |
3,6 |
2,7 |
Требуется выяснить, насколько тесно связаны между собой признаки X иY.
Решение. Находим выборочные средние признаков: средний диаметр
см;
средний прирост диаметра
см.
Выборочные средние квадратичные отклонения равны
см,
= 0,92 см.
Выборочный коэффициент корреляции вычисляем по (4.8):
.
Основная ошибка коэффициента корреляции
0,078.
Показатель достоверности коэффициента корреляции
> 3.
Значение коэффициента корреляции можно считать достоверным.
Значимость rв определяем по таблице (Приложение 4) приf = (n – 2) = (15 – 2) = 13. Вычисленное значение критерияtr = 12,3 больше табличногоt0,05 = 2,16 , поэтому найденныйrв является значимым. Проверим значимостьrв по Приложению 8. В данном примереf = 15,r0,05 = 0,48. Так какrв = 0,96 >r0,05 , то найденныйrв значимый.
Следовательно, мы можем утверждать, что между диаметрами и соответствующими приростами диаметров стволов существует прямая (rв = 0,96 > 0), очень тесная связь, близкая к функциональной.