4.7. Свойства выборочного коэффициента корреляции

В данном разделе без доказательства приведены свойства выборочного коэффициента корреляции r_в .

1. Модуль выборочного коэффициента корреляции не превосходит единицы:

или.

Знак r_в зависит от типа связи: если увеличению значений одного признака соответствует увеличение значений другого (т.е. корреляция положительная), тоr_в> 0; если же при увеличении значений одного признака значения другого уменьшаются (корреляция отрицательная), тоr_в< 0.

2. Если выборочный коэффициент корреляции равен нулю и выборочные линии регрессии – прямые, то Y и X не связаны линейной корреляционной зависимостью. Рассмотрим это свойство подробнее. Еслиr_в =0, то угловой коэффициентk уравнения регрессии_x =kx+b также равен нулю. Это значит, что график прямой линии регрессии

_x =kx+b параллелен оси абсцисс и_x сохраняет постоянное значение, вне зависимости от того, какие значения принимает величинаX .Именно в этом смыслеYиX не связаны линейной корреляционной зависимостью.

3. Если модуль выборочного коэффициента корреляции равен единице, то наблюдаемые значения признаков связаны линейной функциональной зависимостью.

4. Привозрастании модуля выборочного коэффициента корреляции линейная корреляционная зависимость становится все более тесной и при становится функциональной зависимостью.

Приведенные свойства выражают смысл r_в : выборочный коэффициент корреляции является мерой не всякой вообще, а только теснотылинейнойсвязи между количественными признаками в выборке (чем ближек 1, тем линейная связь сильнее, и наоборот, чем ближек 0, тем эта связь слабее). Линейная вероятностная зависимость одного признака от другого заключается в том, что при возрастании значений одного признака значения другого возрастают (r_в> 0 )или убывают (r_в< 0) по более или менее выраженному линейному закону.

Как связаны зависимость и независимость признаков со значениями выборочного коэффициента корреляции?

Для независимых признаков коэффициент корреляции всегда равен нулю.

Если выборочный коэффициент корреляции равен нулю, то признаки YиX могут при этом быть зависимыми. Если разным значениямx признака Xсоответствуют одно и то же значение_x , но разные множества возможных значенийy (или разные распределения вероятностей возможных значенийу ), тоYиX не связаны линейной корреляционной зависимостью, но должны считаться зависимыми величинами.

Если выборочный коэффициент корреляции равен или близок нулю, то это не исключает возможность, что величины YиX могут быть связанынелинейной корреляционной зависимостью или даже функциональной зависимостью.

Величины, для которых коэффициент корреляции равен нулю, называют некоррелированными (или несвязанными). В соответствии со сказанным выше из независимости величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности величин не всегда следует их независимость. То есть понятия независимости и некоррелированности не являются эквивалентными.

Если же коэффициент корреляции двух величин YиX отличен от нуля, то это есть признак наличия зависимости между ними.

Пример 4.5. Проверить прямым вычислением, что в случае линейной функциональной зависимости между величинамиY иX выборочный коэффициент корреляцииr_в = 0.

Решение. Пусть между величинамиY иX имеется линейная функциональная зависимость видаY = 0,5·X . Пусть совместные измерения величинY иX дали следующие три пары значений: (x₁ = 2,y₁ = 1), (x₂ = 4,y₂ = 2), (x₃ = 6,y₃ = 3). Из этих данных получаем:

,

Выборочные дисперсии признаков равны соответственно

,

а выборочные средние квадратичные отклонения

Подставляя найденные значения в формулу (4.8), получаем

Пример 4.6. Пусть в эксперименте с равными относительными частотами наблюдаются следующие пары (x_i ,y_i ) признаковX иY :

(1,1), (2,0), (2,2), (3,-1), (3,3), (4,0), (4,2), (5,1).

Признаки X иY должны считаться зависимыми, так как разным значениям признакаX соответствуют разные множества (и распределения) значений признакаY (другими словами, значения признакаY зависят от того, какое значение принял признакX). Вычислить коэффициент корреляции признаковX иY .

Решение. Вычисляем выборочные средние:

= 3,

= 1.

Выборочные средние квадратичные отклонения оказываются равными .

Вычисление выборочного коэффициента корреляции дает

.

Итак, хотя признаки X иY зависимы, коэффициент корреляции этих признаков равен нулю.