Доказательство леммы:
Пусть
,
.
Рассмотрим
Теперь,
.
▲
Перейдём
к доказательству следствия. Рассмотрим
.
Пусть
–
корень уравнения. Тогда, используя
лемму, получим
.
Так как
– действительные, то
,
что означает,
–
корень уравнения
.
Теперь
покажем, что
имеет ту же кратность, что и
.
Предположим обратное, т.е.
имеет кратность
,
а
кратность
,
.
Пусть
,
тогда
,
где
и
не являются корнями
.
Рассмотрим
.
Заметим, что
по теореме Виета, где
,
– действительные числа, причём
.
Тогда
.
Получим, что многочлен
имеет корень
,
а,
,
по доказанному выше, корнем не является,
противоречит условию. Таким образом,
,
т.е.
и
имеют одинаковую кратность. ■
Следствие
3.
Если
многочлен с действительными коэффициентами,
причём
,
,
то уравнение
имеет, по крайней мере, один действительный
корень.
Доказательство:
Так
как комплексно сопряжённые корни имеют
одинаковую кратность, а по следствию 1
многочлен
имеет ровно
,
вообще говоря, комплексных корней, то,
по крайней мере, одному корню не «хватает»
пары. Следовательно, он действителен.
■
Следствие 4.
Любой
многочлен
можно представить в виде
,
где
–
действительные корни кратности
,
а
не имеют действительных корней
(доказать самостоятельно).
Следствие 5.
Пусть
– правильная рациональная дробь. Тогда
если
,
то
Доказательство этого следствия проиллюстрируем на примере.
Пример.
Разложим дробь
на сумму элементов дробей.
Решение:
.
Для
нахождения неизвестных коэффициентов
,
,
приравняем числители:
.
Получим отсюда:
.
Тогда:
.
Пример.
Разложить дробь
на сумму элементарных дробей.
Решение:
Данная дробь является неправильной. Поэтому разделим числитель на знаменатель:
.
Далее,
.
Получаем, что
.
Для
нахождения неопределённых коэффициентов
,
,
воспользуемся методом частных значений
(в качестве таковых удобно брать корни
знаменателя):
.
Отсюда
.
Тогда окончательно получим:
.