3. 5. Комплексные числа

В предыдущем пункте мы получили фундаментальный результат, состоящий в установлении непрерывности действительной оси, т.е. это означает, что никаких других чисел на действительной оси не существует. Однако множество не замкнуто относительно операции извлечения корня. В частности, уравнение типамы по-прежнему не умеем решать. Р. Декарт (1637 г.) предложил искать новые числа, на множестве которых станет возможным решение подобных задач на плоскости, т.е. рассматривать их как координаты точек в ДПСК-2. При этом число представляется как упорядоченная парадвух действительных чисел, где пара. Для пар видадолжны выполняться все операции над действительными числами (принцип перманентности). Оказалось, это возможно сделать, если дать следующее определение.

Определение 1. Комплексным числом называется упорядоченная парадействительных чисел такая, что выполняются следующие условия. Пустьи, тогда:

1. ;

2. ;

3. .

Число (первый элемент пары) называетсядействительной частью числа , а(второй элемент пары) –мнимой частью. Обозначим их через ,.

Операции над комплексными числами обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности (показать).

Положим . Числа,удовлетворяют всем правилам операций над действительными числами (показать).

Рассмотрим число и возведём его в квадрат:. Таким образом, числоявляется решением уравнения. Это число Р. Декарт назвал мнимой единицей и обозначил.

3. 5. 1. Алгебраическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа в виде не совсем удобна при выполнении арифметических операций над комплексными числами. Поэтому перейдем к алгебраической форме записи комплексного числа. Пусть. Рассмотрим числои умножим его на:

, т.е. .

Используя введённые обозначения ,,, получим:. Такое представление называюталгебраической формой комплексного числа .

Определение 2. Число называетсякомплексно сопряжённым числу . Отметим, что,.

Арифметические действия над комплексными числами ,выполняются по следующим формулам:

1. ;

2. ;

3. , .

Пример. Пусть ,. Найти,,.

,

,

. ■

3.5. 2. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всоответствии с идеей Декарта, каждому комплексному числуможно сопоставить точкуна плоскостиили её радиус-вектор. Можно показать, что между множеством комплексных чисел и множеством радиус-векторов точек плоскостисуществует взаимно однозначное соответствие. Таким образом, комплексно сопряжённые числаиизображаются точками, симметричными относительно оси. Заметим, что комплексные числа складываются и вычитаются по правилу сложения векторов.

Определение 1. Длина радиус-вектора, соответствующего числа , называетсямодулем этого числа и .

Определение 2. Аргументом комплексного числаназывается угол между соответствующим радиус-вектором и положительным направлением оси.

Отметим, что , если отсчет ведет против часовой стрелки, и, если – по часовой стрелке. Для числапонятие аргумента не вводится, а при,определяется с точностью до слагаемого,. Среди всех значений,, существует только одно значение, лежащее в промежутке(или). Оно называетсяглавным и обозначается . Следовательно,.