Доказательство:

По теореме 1 . Так как, а, то. Это значит, что.

Заметим, что . Таким образом,. ■

Теорема 3. (Вторая теорема Безу)

Число – корень полиноматогда и только тогда, когдапри делениина.

Доказательство:

Необходимость. Пусть – корень полинома, т.е.. Рассмотрим. Тогда. Отсюда.

Достаточность. Пусть . Тогда по теореме 1. Рассмотрим. Это значит, чтоявляется корнем полинома. ■

Схема Горнера

Схема Горнера – это наиболее эффективный алгоритм деления полинома на двучлен. По теореме 1 . Распишем в последнем равенстве все многочлены: . Два полинома равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях. Поэтому:

………………………..		…………………………

		……………
		……………
		……………

Следствие.Если полином имеет целые коэффициенты, причём, и его корни есть целые числа, то эти корни являются делителями свободного члена.

Доказательство:

По условию , где. Пусть– корень полинома, т.е.. Вынесем за скобку в левой части равенства: . Так как все– целые, тогда, если – целые, то – целое, т.е. является делителем числа . ■

Пример. Используя схему Горнера, разделить полином

на .

Решение:

Запишем делимое в каноническом виде, т.е. .

Применяя схему Горнера, имеем:

	1	0	-3	2	-1	1
	0	-1	1	2	-4	5
	1	-1	-2	4	-5	6

Итак, частное и остаток. Проверим. Заметим, что числа, стоящие в последней строке, кроме, являются коэффициентами частного.

Пример. Разложить на множители полином .

Решение:

Делители свободного коэффициента: . Так как, тоделится на. По схеме Горнера:

	1	4	5	2
	0	-1	-3	-2
	1	3	2	0

Таким образом, .

П. 6. 2 Основная теорема алгебры

Теорема 4. Теорема Гаусса

Полином от комплексного, вообще говоря, переменного с комплексными, вообще говоря, коэффициентами имеет, по крайней мере, один, вообще говоря, комплексный корень.

Следствие 1. Многочлен с, вообще говоря, комплексными коэффициентами от, вообще говоря, комплексного переменного имеет ровно, вообще говоря, комплексных корней, пусть даже совпадающих.

Доказательство:

По теореме Гаусса существует, по крайней мере, один корень полинома . Пусть число– корень. Тогда по теореме Безу. Применим теорему Гаусса к многочленуи так далее. Получим. Покажем, что. Для этого перемножим скобкии сравним коэффициенты в левой и правой частях при. Получим требуемое. ■

Следствие 2. Если – корень многочлена с действительными коэффициентами, то также является корнем этого многочлена той же кратности.

Доказательство:

Для доказательства докажем лемму.

Лемма. Если – комплексные числа, то,.