3. 3. Непрерывность числовой оси

Определение 1. Числовой осью называется прямая с выбранным на ней началом отсчёта, масштабом и направлением.

Теорема 1. Между точками числовой оси и действительными числами существует одно-однозначное соответствие (биекция).

Необходимость. Покажем, что каждой точке числовой оси соответствует действительное число. Для этого отложим масштабный отрезок единичной длины

раз так, что точка будет лежать левее точки, а точкауже правее. Далее отрезокподелим начастей и отложим отрезок ираз так, что точкабудет лежать левее точки, а точкауже правее. Таким образом, на каждом этапе число,… Если эта процедура закончится на каком-то этапе, мы получим число(координату точкина числовой оси). Если нет, то назовём левую границу любого интервала «числомс недостатком», а правую – «числомс избытком», или «приближением числас недостатком или избытком», а само числобудет бесконечной непериодической (почему?) десятичной дробью. Можно показать, что все операции с рациональными приближениями иррационального числаопределяются однозначно.

Достаточность. Покажем, что любому действительному числу соответствует единственная точка числовой оси. 

Определение 2. Если , то числовой промежутокназываютсегментом, если , то числовой промежутокназываютинтервалом, если , то числовой промежутокназываютполуинтервалом.

Определение 3.Если в сегмент вложены сегментытак, что, а, то такая система называется СВС (системой вложенных сегментов).

Определение 4. Говорят, что (длина сегмента стремится к нулю, при условии, что ), если.

Определение 5. СВС, у которой называется ССС (системой стягивающих сегментов).

Аксиома Кантора-Дедекинда: В любой СВС существует хоть одна точка, принадлежащая всем им сразу.

Так как рациональные приближения числа можно изобразить системой стягивающихся сегментов, то рациональному числубудет соответствовать единственная точка числовой оси, если в системе стягивающих сегментов будет единственная точка, принадлежащая всем им сразу (теорема Кантора). Покажем это от противного.

. Пусть идве такие точки, причём,. Так как,, то. Но, с другой стороны,, а, т.е. начиная с некоторого номера,будет меньше любой константы. Это противоречие и доказывает требуемое. ■

Таким образом, мы показали, что числовая ось непрерывна (не имеет «дырок») и больше никаких чисел на ней разместить нельзя. Однако, мы по-прежнему не умеем извлекать корни из любых действительных чисел (в частности из отрицательных) и не умеем решать уравнения типа . В п.5 мы займемся решением этой проблемы.

3. 4. Теория граней

Определение 1. Множество ограничено сверху (снизу), если существует число , такое что. Числоназываетсяверхней (нижней) гранью.

Определение 2. Множество ограниченно, если оно ограниченно и сверху, и снизу.

Определение 3. Точной верхней гранью ограниченного сверху множества действительных чисел называется:

(т.е. – одна из верхних граней);

(т.е. – несдвигаемая).

Замечание. Точная верхняя грань (ТВГ) числового множества обозначается(от лат.supremum - самый малый из больших).

Замечание. Соответствующее определение для ТНГ (точной нижней грани) дать самостоятельно. ТНГ числового множества обозначается(от лат.infinum - наибольший из меньших).

Замечание. может принадлежать, а может, и нет. Числоесть ТВГ множества отрицательных действительных чисел, и ТНГ множества положительных действительных чисел, но не принадлежит ни тем, ни другим. Числоесть ТНГ множества натуральных чисел и относится к ним.

Возникает вопрос: любое ли ограниченное множество имеет точные границы и сколько их?

Теорема 1. Любое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет единственную ТВГ. (аналогично теорему для ТНГ сформулировать и доказать самостоятельно).

Конструкция. Множествонепустое, ограниченное сверху множество действительных чисел. Тогдаи. Разделим отрезок

пополам и назовём отрезкомтот из них, который обладает следующими свойствами:

отрезок содержит хоть одну точку. (например, точку);

всё множество лежит левее точки, т.е..

Продолжив эту процедуру, получим ССС . Таким образом, по теореме Кантора существует и единственна точка, принадлежащая всем сегментам сразу. Покажем, что.

Покажем, что (т.е.– одна из граней). Предположим противное, что. Так как, токак только,, т.е., т.е.. По правилу выбора точек, точкавсегда левее, т.е., следовательно, и. Новыбирается так, что все, а, т.е. и. Это противоречие доказывает эту часть теоремы.

Покажем несдвигаемость , т.е.. Зафиксируеми найдём номер. В соответствиис правилом 1 выбора отрезков. Мы только что показали, что, т.е., или. Таким образом, или. ■