- •Глава VIII Интегральное исчисление функций одного переменного
- •П.1 Понятие первообразной
- •Геометрический смысл неопределенного интеграла
- •П.2 Свойства неопределенных интегралов
- •П.3 Таблица основных интегралов
- •П. 4 Общие методы интегрирования
- •2. Интегрирование по частям.
- •3. Интегрирование рациональных дробей.
- •4. Интегрирование тригонометрических функций.
- •5. Интегрирование иррациональных функций.
- •П. 5 Конструкция определенного интеграла
- •П. 6 Суммы Дарбу и их свойства
- •Свойства сумм Дарбу
- •П. 8 Классы интегрируемых функций
- •П. 9 Свойства интегрируемых функций
- •П. 10 Свойства определенного интеграла
- •П 11. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему (нижнему) пределу. Формула Ньютона-Лейбница
- •П 12. Замена переменной в определенном интеграле
- •П 13. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •П 14. Вычисление площадей плоских фигур
- •14.1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах
- •14.2. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах
- •П 15. Вычисление длины кривой
- •П 16. Несобственный интеграл первого рода. Критерий Коши. Признаки сравнения.
- •П 17. Условная сходимость несобственного интеграла. Признак Абеля-Дирихле.
- •§11. Несобственный интеграл и ряд. Интегральный признак Коши сходимости ряда.
- •§12. Несобственный интеграл второго рода.
- •П 18. Главное значение несобственного интеграла.
§12. Несобственный интеграл второго рода.
y
Перейдем в (1) формально к пределу при ε→0
F(ε)= =.(2).
Символ =называют несобственным интегралом 2-го рода. При этом, если предел (1) конечный, то несобственный интеграл 2-го рода называют сходящимся. Если предел бесконечный или не сущ., то расходящимся. Точкуx=b называют особой.
Аналогично определяются несобственные интегралы 2-го рода, если особой точкой является левый конец отрезка [a, b] или внутренняя точка x=c отрезка [a, b].
==,
=(+).(3)
Величины ε1 и ε2 →0 независимо друг от друга.
Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл.
Решение. Пусть α=1. Тогда ==-ln(b-x) =(ln(b-a)-lnε)=∞ => ряд расходится.
Пусть α≠1. Тогда ===(-) => Сходится, если α<1. Расходится, если α>1.
Вывод: при α<1 интеграл сходится, при α≥1 интеграл расходится.
При некоторых ограничениях на ф-ю f(x) несобственный интеграл 2-го рода сводится к несобственному интегралу 1-го рода.
Пусть f(x) непрерывна на [a, b) и b – особая точка. В интеграле сделаем замену.
==.(4)
Перейдем в (4) к пределу при ε→+0. Получим
=.(5)
Таким образом данная замена переводит несобственный интеграл 2-го рода в несобсвенный интеграл 1-го рода. Ясно, что если интеграл в левой части (5) существует, то существует и интеграл в правой части (5), и наоборот. Все признаки сходимости, доказанные для несобственного интеграла 1-го рода, справедливы (с нек. исправлениями) и для интеграла 2-го рода. Правила интегрирования также остаются прежними.
Пример 2. Вычислить несобственный интеграл.
Согласно (2) имеем ===(xlnx-x) = =(-1-εlnε+ε)=-1-=-1-=-1.
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл.
Доопределим подыинтегральную ф-ю в точке x=0, т.е. положим =0. Особой точкой являетсяx=1. Найдем предел =x=1. Это означает эквивалентность функций в точке x=1, т.е. ~приx→1. Согласно предельному признаку сравнения интеграла иведут себя одинаково. Но интегралрасходится (см. пр. 1), => и данный интеграл расходится.
П 18. Главное значение несобственного интеграла.
Пусть ф-я f(x) определена на всей числовой оси и интегрируема на любом конечном отрезке числовой оси. Тогда
=(1) –
несобственный интеграл 1-го рода. Напомним, что a и b стремятся к ∞ независимо друг от друга. Положим теперь b=-a. Если существует предел , то говорят, что несобственный интеграл сходится по Коши, а его значение называют главным значением несобственного интеграла по Коши и обозначают
V.P.=.(2)
Ясно, что если интеграл (1) сходится, то он сходится к этому же значению по Коши. Однако интеграл (1) может расходится, но иметь главное значение по Коши.
Пример 1. - расходится (см. пр.2 §9). Найдем его главное значение.
V.P.==-(cosa-cos(-a))=0.
Теорема 1. Если ф-я f(x) нечетная и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, то ее главное значение равно нулю.
Док-во. =+==-==0, т.к.f(t) нечетная V.P.==0. Теорема доказана.
Если любая особая точка c внутренняя для отрезка [a, b], то главное значение интеграла по Коши можно ввести и для несобственного интеграла 2-го рода.
V.P.=(+).(3)
Пример 2. Интеграл ,a<c<b расходится (см. пр.1 §12). Найдем его главное значение. V.P.=(+)=(ln|x-c|+ln|x-c|)=(lnε-ln|a-c|+ln(b-c)-lnε)= .
Пример 3. Интеграл расходится. Найдем его главное значение.V.P.= (+)=-(+)=-(-++1-)=-∞. Главное значение данного интеграла не существует.