4. Интегрирование тригонометрических функций.

Алгоритмы вычисления таких интегралов даются в прилагаемых ниже таблицах.

Общий случай:

5. Интегрирование иррациональных функций.

Алгоритмы вычисления таких интегралов даются в прилагаемых ниже таблицах.

П. 5 Конструкция определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке. Разобьем этот отрезок напроизвольных частей точками разбиения. В каждом из полученных отрезковвыберем произвольную точку. Черезобозначим длину отрезка. Обозначим сумму, которую назовем интегральной суммой Римана функциина отрезке, соответствующей данному разбиениюотрезкаи данному выбору точек.

Геометрический смысл интегральной суммы заключается в том, что это сумма площадей прямоугольников с основаниямии высотой(при выполнении условия).

Обозначим через длину наибольшего отрезка разбиения: .

Определение 1. Если существует конечный предел интегральной суммы прии при условии, что он не зависит от разбиенияотрезкаи от выбора точек, то этот предел называетсяопределенным интегралом Римана от функции на отрезкеи обозначается.

Другими словами, : . Нетрудно видеть, что мы дали определение интеграла Римана в духе определения предела по Коши.

Будет полезным дать определение в духе определения предела по Гейне.

Определение 2. Функцию , для которой существует предел , называютинтегрируемой по Риману. Множество всех интегрируемых по Риману на отрезке функций обозначают.

П. 6 Суммы Дарбу и их свойства

Определение 1. Пусть функция f(x) ограничена на отрезке , иr – разбиение этого отрезка. Обозначим через ,,. Тогда суммыиназываютверхней и нижней суммами Дарбу функции f(x) для данного разбиения r отрезка .

Из определения ТВГ и ТНГ () функцииf(x) следует, что , т.е..

Геометрический смысл сумм Дарбу

Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию f(x) на отрезке . - площадь “описанной” ступенчатой фигуры, - “вписанной” ступенчатой фигуры. Следует отметить, что суммы Дарбу зависят только от разбиения отрезка , в то время как интегральная сумма σ зависит еще и от выбора точек : при фиксированном разбиении отрезка суммы и - некоторые числа, а суммаσ – переменная величина, т.к. произвольны.

Свойства сумм Дарбу

1. Для любого фиксированного разбиения r и для любого точкина отрезкахможно выбрать так, что суммаσ будет удовлетворять неравенству . Точкиможно выбрать также и таким образом, что.

Доказательство:

Пусть r – некоторое фиксированное разбиение отрезка . По определению ТВГ для данного на отрезкеможно указать такую точку, что. Умножим неравенство наи просуммируем, получим. Аналогично,. ■

2. От добавления к данному разбиению r отрезка новых точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя – не увеличивается.

Доказательство:

Достаточно ограничиться добавлением к данному разбиению r еще одной точки разбиения . Предположим, что точкапопала в отрезок. Обозначим через и - нижние, а через и- верхние суммы Дарбу для данного разбиенияr и нового . Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Обозначим через и ТВГ функции на отрезкахи. В суммувходит слагаемое, а в суммувместо него слагаемые. Остальные слагаемые в этих суммах одинаковы. Так каки, то

. Отсюда получим . Аналогично. ■

3. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения не превосходит верхней суммы Дарбу для любого другого разбиения .

Доказательство:

Пусть и,и- нижняя и верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений и . Рассмотрим разбиение , состоящее из точек, входящих в разбиения и . Обозначим его суммы Дарбу и. Так как разбиение может быть получено из разбиения добавлением к нему точек разбиения , то по свойству 2, учитывая , получим. Но разбиение может быть получено из добавлением точек . Поэтому . Отсюда,. ■

4. Множество верхних сумм Дарбу функциидля всевозможных разбиений отрезка ограничено снизу, а множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху, причем.

Доказательство:

Это свойство непосредственно следует из свойства 3. Действительно, множество ограничено снизу, а множествоограничено сверху. Поэтому по принципу ТВГ и ТНГ они имеют точные грани. Обозначим,. Покажем, что.

Пусть . Тогда положим. Из свойств точных граней следует, что существуют числаи(- верхняя сумма Дарбу для разбиения,- нижняя сумма Дарбу для разбиения) такие, что,. Отсюда получим. Но, поэтомуили, что противоречит свойству 3. ■

п. 7 Критерий интегрируемости функций

Теорема 1. .

Доказательство:

Необходимость. Пусть , т.е. существует. Это означает, чтонезависимо от выбора точеквыполняется неравенство(1). Зафиксируем любое такое разбиение. Для него согласно свойству 1 сумм Дарбу можно указать такие суммыи, что выполняются неравенства(2) и(3). Отметим, что обе суммыиудовлетворяют неравенству (1). Из равенстваи неравенств (1)-(3) следует, а это означает:(так как(4), следовательно,) или.

Достаточность. Пусть выполнено неравенство (4). Согласно свойству 4 сумм Дарбу для любых иимеет место неравенство, поэтому. Отсюда согласно (4) следует, что. Значит,, т.е.. Полагая, получим, что для любого разбиенияимеет место неравенство(5). Если же интегральная суммаи суммы Дарбуиотвечают одному и тому же разбиению, то(6). Из неравенств (5) и (6) следует, что(7). По условию для любогосуществует такое,что из того, что, следует . Тогда из неравенства (7) получим при условии. Это означает, что числоI является пределом интегральной суммы σ при , т.е.. ■

В дальнейшем нам понадобится другая форма записи необходимого и достаточного условия интегрируемости функции. Для этого введем - колебание функциина отрезке. Тогда. Так каки, то каждое слагаемое в сумме неотрицательно, и критерий существования определенного интеграла можно записать следующим образом: ()().