П. 4 Арифметические свойства пределов

Теорема 1. Пусть последовательности исходятся, тогда сходится и последовательность, причем.

Доказательство:

Так как и, то,, гдеи- БМП. Рассмотрим, причем- БМП. Следовательно,.

Следствие. Сумма любого конечного числа сходящихся последовательностей, является сходящейся последовательностью, предел которой равен сумме соответствующих пределов.

Теорема 2. Если ,(пределы последовательностейx_п и y_п равны a и b соответственно), то .

Доказательство:

В силу определения предела последователь- ности имеем где,- БМП. Рассмотрим, при этом- БМП. Следовательно,

Теорема 3. Если пределы последовательностей x_п и y_п равны a и b соответственно для любого натурального числа n и y_п ≠0, b≠0 (,), то.

Доказательство:

Докажем сначала лемму.

Лемма. Если последовательность сходится, то последовательность- ограничена.

Пусть . Тогда имеет место соотношение (**). Пусть в (**)т.е.. Тогда существует номер, начиная с которогоили. Следовательно,или. Пусть. Тогда. ▲

Рассмотрим . Так как- БМП, а- ограничена, то- БМП. Таким образом,.

П. 5 Свойства пределов, связанные с неравенствами

Теорема 1. Пусть . Тогда, если найдется номер, начиная с которого, то.

Доказательство:

Так как , то для нее имеет место соотношение (**). Предположим противное, т.е. пусть. Тогда из соотношения (**) имеем. Так как, то можно выбрать такое, чтои. Тогда, начиная с некоторого номера, определяемого этим,, что противоречит условию.

Следствие 1. Пусть и существует такой номер, начиная с которого. Тогда.

Доказательство:

Рассмотрим . Последовательностьсходится. Более того, начиная с некоторого номера. Тогда. Но. Следовательно,.

Следствие 2. Пусть и, начиная с некоторого номера,. Тогда.

Следствие 3. Пусть и, начиная с некоторого номера,. Тогда.

Теорема 2. Пусть , причем. Тогда существует такой номер, что.

Доказательство:

Так как , то имеет место соотношение (**), т.е.. Имеем, выберемтаким, чтобы. Тогда найдет такой номер, начиная с которого,.

Следствие 1. Пусть , причем. Тогда существует такой номер, начиная с которого,.

Следствие 2. Пусть , причем. Тогда существует такой номер, начиная с которого,.

Следствие 3. Пусть , причем. Тогда существует такой номер, начиная с которого,.

Теорема 3. Теорема о двух полицаях. Пусть ,, причем начиная с некоторого номера,. Тогда.

Доказательство:

Так как последовательности исходятся, то имеет место соотношение (**), т.е.и. Пусть. Тогда начиная с номера. Отсюда получим, или, т.е..

П. 6 Принцип компактности и принцип полноты

Определение 1. Пусть - некоторая последовательность. Рассмотрим последовательностьнатуральных чисел такую, что. Тогда последовательностьназываютподпоследовательностью последовательности . Если последовательностьсходится, то ее предел называютчастичным пределом последовательности .

Пример. Рассмотрим последовательность . Тогдаявляется подпоследовательностью последовательности.

Теорема 1. Если последовательность сходится к, то любая ее подпоследовательностьсходится к.

Доказательство:

Пусть , тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера. Так как члены подпоследовательно-

сти являются членами последовательности, то приимеем. Следовательно,.