- •V. Дифференциальное исчисление функции одного переменного
- •1. Производная. Правила дифференцирования
- •2. Таблица производных
- •3. Правила дифференцирования
- •4. Производные высших порядков
- •5. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически Говорят, что уравнение
- •6. Уравнения касательной и нормали
- •7. Дифференциал первого порядка
- •8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя
- •Задание 5.2
- •Задание 5.3
- •Задание 5.4
- •Задание 5.5
- •Задание 5.6
- •Задание 5.7
- •Задание 5.8
- •Задание 5.14
- •Задание 5.15
- •Задание 5.16
6. Уравнения касательной и нормали
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке M(x0, y0) имеет вид
,
а уравнение нормали в той же точке ,
где y0 = f (x0).
Пример 8. Найти площадь треугольника, образованного прямой y = y0 +1, касательной и нормалью, проведёнными к графику
функции y = x3 + 2x2 – x + 1 в точке с абсциссой x0 = 1 и ординатой y0 .
Решение. Найдём ординату y0 точки касания и :
;
; .
Уравнением касательной является y = 3 + 6(x – 1) или 6x – y – 3 = 0. Уравнение нормали имеет вид или x + 6y – 19 = 0. Найдём координаты точек А и В (см. рисунок) прямой.
Вычислим длины катетов АС и ВС прямоугольного треугольника АВС:
,
.
По этим данным найдём искомую площадь
7. Дифференциал первого порядка
Придадим аргументу x в точке x0 приращение , функция y = f(x) получит приращение. Если существует число А, такое что
, (6)
то говорят, что f(x) дифференцируемая в точке x0; линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x0 и обозначается или(или просто df , dy). Если x – независимое переменное (т.е. не зависит от других переменных), то полагают.
Теорема 2. Функция f(x) дифференцируема в точке x0 в том и только в том случае, если f(x) имеет производную в этой точке. При этом .
Если в равенстве (6) отбросить бесконечно малую величину , то получим приближённое равенство
,
которое применяется для нахождения приближённого значения функции.
8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
Дифференциалом второго порядка d2f(x) функции называется дифференциал от дифференциала, гдерассматривается как функция отx: d2f = d(df). Дифференциалом третьего порядка d3f называется дифференциал от второго дифференциала: d3f = d(d2f) и т.д.
Если переменная x является независимой, то d2x = d3x = … = 0. В этом случае ,,...,,… Для краткости вместо (dx)n принято писать dxn; с учётом этого .
Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и в этой окрестности имеет производные до (n+1) -го порядка включительно (т.е. дифференцируема (n+1) раз), то справедлива формула Тейлора
,
где Rn+1 (x) – остаточный член, являющийся бесконечно малой величиной при x x0. Остаточный член обычно записывают в виде
,
в форме Пеано или в форме Лагранжа
,
где с – некоторое число между x0 и x. Формула Тейлора допускает и другую запись через дифференциалы
.
Формулу Тейлора применяют для приближенных вычислений.
9. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя
Теорема 3. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в каждой точке некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой точки x0, и пусть . Если=0 илии существует, то.
Эта теорема, называемая правилом Лопиталя, применяется для раскрытия неопределённостей вида или.
Неопределённости вида илинесложным алгебраическим преобразованием приводятся к неопределённостям видаили.
Неопределённости вида приводятся к неопределённости видас помощью предварительного логарифмирования или тождества.
Пример 9. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:
а) ; б); в); г);
д) .
Решение. а) Первый способ. При x1 числитель и знаменатель стремятся к 0, поэтому имеем неопределённость вида . Воспользуемся правилом Лопиталя:
.
Второй способ. Неопределённость можно раскрыть и с помощью формулы Тейлора. Обозначим ,. Эти функции определены и дифференцируемы в окрестности точки x0 = 1. Имеем ,,,,,. Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, имеем
или
, .
Поэтому
.
б) Имеем неопределённость вида . В данном случае приходится трижды применять правило Лопиталя:
.
в) Имеем неопределённость вида . Обозначим. Тогда,
. Таким образом, , откуда, ввиду непрерывности логарифмической функции,,т. е. .
г) Воспользуемся тождеством , 0<x</2. Ввиду непрерывности показательной функции,
Найдём :
.
Итак, .
д) Имеем неопределённость вида . Переведём эту неопределённость в неопределённость видаи затем воспользуемся правилом Лопиталя:
.
А так как
,
то .
Задание 5.1
Используя определение производной, найдите производную функции.
1) y = x sin (2x + 3); |
16) y = (x + 3) lnx; |
2) y = (4x – 1) ln (2x); |
17) ; |
3) y = cos (2x2 + x +1); |
18) y = 4x e3x; |
4) ; |
19) y = e4x sin 2x; |
5) y = x e4x ; |
20) ; |
6) y = ex sin3x; |
21) y = (2x2 – x +2) sinx; |
7) ; |
22) y = x cos (3x – 1); |
8) y = (x2 + 3x +1) sinx; |
23) ; |
9) y = cos (x2 – x +2); |
24) y = e3x cosx; |
10) y = 3x cos (x + 4); |
25) y = (3x2 + x +1) cosx; |
11) ; |
26) y = (x2 – 2x +3); |
12) y = e2x cos4x; |
27) y = x sin (4x + 3); |
13) y = (x2 – x + 2) cosx; |
28) y = (3x – 1) ln 2x; |
14) y = sin (x2 + 3x +2); |
29) ; |
15) y = 4x sin (x – 2); |
30) y = 2x e4x . |