IV. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1. Векторная алгебра

Вектором называется направленный отрезок в пространстве (на плоскости). Вектор имеет две характеристики: длину, называемую также модулем и обозначаемую, и направление. Принято также вектор обозначать двумя буквами, первая из которых указывает начало вектора, вторая – конец:.

Два вектора считаются равными, если они:

1) равны по длине, 2) лежат на параллельных прямых, 3) сонаправлены. Вектор, имеющий нулевую длину (то есть у которого совпадают начало и конец), называется нуль-вектором или нулевым вектором и обозначается 0, нуль-вектор считается параллельным любому вектору. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.

Суммой векторов иназывается вектор, определяемый по правилу: если путём параллельного переноса совместить начало векторас концом вектора, то начало векторасовпадает с началом, а конец– с концом; при этом пишут(рис. 1). Векторы можно складывать и по «правилу параллелограмма» (рис. 2). Если слагаемых больше, то используют правило замыкания ломаной (рис. 3) .

Справедливо правило уничтожения средней буквы:

.

Произведением вектора на действительное числоназывается вектор, обозначаемыйи удовлетворяющий следующим требованиям:

1) ; 2)ипараллельны; 3)исонаправлены прии направлены в противоположные стороны при.

Эти две операции обладают привычными для нас свойствами: ,,и т.д.

Единичный вектор, параллельный и сонаправленный с ним, называется ортом вектораи обозначается;.

Векторы ,называются коллинеарными, если они параллельны.

Тройка векторов называется компланарной, если путём параллельного переноса все три вектора удаётся поместить в одну плоскость.

Система векторов называется линейно-зависимой, если существуют числа, не все равные нулю и такие, что. Если же равенствовозможно лишь при, то система векторовназывается линейно независимой.

Теорема 1. а) Векторы коллинеарны в том и только в том случае, если они линейно-зависимы; б) векторыкомпланарны в том и только в том случае, если они линейно-зависимы.

Упорядоченная тройка (двойка) некомпланарных (неколлинеарных) векторов пространства (плоскости) называется базисом во множестве всех векторов пространства (плоскости). Любой векторв пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса:

,

более того, такое представление единственно; числа называются координатами векторав базисе.

При сложении векторов складываются их соответствующие координаты; при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число.

Векторы иколлинеарны в том и только в том случае, если координаты этих векторов (в произвольном базисе) пропорциональны.

Если векторы единичные и взаимно перпендикулярны, то они образуют базис, который называется ортонормированным.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует правую (левую) тройку, если после совмещения их начал путём параллельного переноса, кратчайший поворот от первого векторако второму векторувиден из конца третьего вектора,совершающимся против (по) часовой стрелки.

Для ортонормированного базиса , образующего правую тройку, приняты обозначения.

Проекцией вектора на вектор(или на ось, параллельную и сонаправленную) называют число, где – угол между векторами и. В ортонормированном базисе координаты X, Y, Z векторасовпадают с его проекциями на базисные орты:при этом

.

Обозначим через углы между вектороми векторамисоответственно.Числа называются направляющими косинусами вектора. Имеют место формулы:

, ,

Часто краткости ради вместо пишут. Аналогичные определения приняты на множестве векторов плоскости.

Теорема 2. Тройка векторов ,,образует базис в том и только в том случае, если

.

Пример 1. Доказать, что векторы ,,образуют базис. Найти разложение векторав этом базисе.

Решение. Имеем

.

Следовательно, векторы образуют базис. Координаты X, Y, Z векторав этом базисе должны удовлетворять равенству, или в матричной записи

.

Это приводит к системе линейных алгебраических уравнений:

Решив эту систему, найдём X = 2, Y = 1, Z = 1.

Таким образом, .

Прямоугольная система координат в пространстве задаётся точкой 0 – началом координат – и ортонормированным базисом .

Оси 0x, 0y, 0z, проведённые через точку 0 параллельно векторам , называютсякоординатными осями.

Каждой точке M пространства ставится в соответствие вектор , называемый радиус-вектором точки M; это соответствие является взаимно-однозначным. Координатами x, y, z точки M называются координаты её радиус-вектора

Координаты вектора выражаются через координаты началаи концавектора по формулам:

, ,.

Расстояние между точками ивыражается формулой

.

Скалярным произведением векторовиназывается произведение модулей этих векторов на косинус угла междуи:.

(Наряду с обозначением принято и другое:)

Теорема 3. а) Пусть,. Тогдав том и только в том случае, если;

б) ; в); г); д), причёмв том и только в том случае, если.

Из определения скалярного произведения следует

, .

Теорема 4. Если ,, то.

Отсюда следует формула косинуса угла между векторами и

.

в том и только в том случае, если .

Пример 2. Даны точки A(–2; 1; 3), B(0; –1; 2), C(3; –2; 1).

Найти: а) длину отрезка АВ; б) косинус угла B в треугольнике АВС;

в) ; г)и направляющие косинусы.

Решение.

а) ;

б) угол В в треугольнике АВС есть угол между векторами и. Имеем,,,,

;

в) ,,,

,

отсюда находим

;

г) .

Направляющими косинусами вектора являются 2/3, –2/3, –1/3.

Векторным произведением упорядоченной пары неколлинеарных векторова и b называется вектор c, удовлетворяющий следующим трём требованиям:

1), где – угол между векторами а и b;

2. с перпендикулярен каждому из векторов а и b;

3. а, b, с образуют правую тройку.

Векторное произведение принято также обозначать .

Теорема 5.   a)  равен площади параллелограмма, построенного на вектораха и b; б) а b = – b  a; в) а  (b + c) = а  b + + а  c; г) ( а)  b = (а  b).

Теорема 6. Если ,, то,

или в символической записи

.

Смешанным произведением векторов а, b, с называется скалярное произведение векторов a  b и с; смешанное произведение векторов а, b, с обозначается (а, b, с).

Теорема 7. а) а, b, с компланарны в том и только в том случае, если (а, b, с) = 0;

б) для некомпланарной тройки векторов а, b, с (а, b, с) > 0 в том и только в том случае, если а, b, с образуют правую тройку, и (а, b, с) < 0 в том и только в том случае, если а, b, с образуют левую тройку;

в) |(а, b, с)| равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с;

г) (а, b, с) = (b, c, a) = (c, a, b) = –(b, a, с) = –(а, c, b) = –(c, b, a).

Теорема 8. Если ,,, то

.

Пример 3. Даны точки A(4;–1;3), B(0;1;2), C(3;–2;5), D(1;–1;1). Найти: а) площадь треугольника АВС; б) высоту треугольника АВС, опущенную из вершины А на сторону ВС;

в) объём пирамиды АВСD.

Решение. а) Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма S, построенного на векторахи, то есть. Имеем,,

;

б) ;,;.

в) Объём пирамиды АВСD равенобъёма параллелепипеда, построенного на векторах. Имеем,,;

.