I. Комплексные числа. Многочлены

1. Комплексные числa

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисели, для которых введены понятия равенства и операции сложения и умножения:

если , (1)

(2)

. (3)

Из формул (2) и (3) вытекают, в частности, соотношения

,

которые показывают, что операции над комплексными числами вида совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексные числа вида отождествляются с действительными числами . Особую роль играет число, которое называется мнимой единицей.

Из формул (2), (3) вытекают также равенства:

,

,

.

Итак, каждое комплексное число можно представить в виде. Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Число называется действительной частью, а– мнимой частью комплексного числа. Для них приняты следующие обозначения:

.

Комплексное число называется сопряженным с комплексным числом .

Число называется модулем комплексного числа. Очевидно, , причем,, тогда и только тогда, когда . Модуль действительного числа совпадает с абсолютной величиной этого числа.

Отметим две формулы: , , которые вытекают из определений и равенства

.

Вычитание и деление комплексных чисел являются действиями, обратными соответственно сложению и умножению.

Если ,,

то 

.

Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел определяет точку на плоскости или вектор(рис. 1).

Рис. 1

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Положение точки на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами, но и полярными координатами, где– длина вектора, а– угол между действительной осью и вектором, отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числаи обозначается так:. Для числааргумент не определяется, поэтому во всех дальнейших рассуждениях, связанных с понятием аргумента, предполагается, что.

Угол определяется с точностью до, где– целое число. Значение аргумента, заключенное междуи, называется его главным значением и обозначается. Таким образом,.

При этом

Из рис.1 видно, что

Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде

(4)

Запись комплексного числа в виде (4) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если , то по формуле (4) имеем .

Комплексное число обозначается символом, то есть функциядля любого вещественного числаопределяется формулой Эйлера:

_.(5)

Подставляя (5) в (4), получаем показательную форму комплексного числа:

.

Заменим нав равенстве (5):

. (6)

Складывая и вычитая равенства (5) и (6), получаем формулы Эйлера:

Функция обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы числобыло действительным.

Отметим основные из них:

(7)

(8)

. (9)

Из (9) и (5) вытекает формула Муавра:

.

С помощью (7), (8) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:

,

Корень из комплексного числа имеетразличных значений и находится по формуле

где

Модуль разности чисел равен расстоянию между точками z₁ и z₂ комплексной плоскости.

Пример 1. Найти сумму, произведение и частное чисел

z₁ = –1+2i и z₂ = 2 – 3i .

Решение. ;

;

.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения

.

Таким образом,

, .

Пример 3. Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форме

Решение. ,

где модуль комплексного числа;

главное значение аргумента комплексного числа.

; ;;

.

Найдем модули и главные значения аргументов комплексного числа.

Считаем, что .

.

.

.

,

.

Тогда

.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Обозначим ,,. Найдём,,. Для этого представим каждое из чисел z₁, z₂, z₃ в показательной форме: ,,;

, ,;

, ,

.

Имеем

.

Наше уравнение принимает вид или;;;;.

Таким образом, корни исходного уравнения являются корнями третьей степени числа . Имеем,. Найдём наши корни по формуле, k = 0, 1, 2.

Отсюда получаем

,

,

.

Числа w₀ , w₁ , w₂ (записанные в тригонометрической форме) и являются решением нашего уравнения. Найдём показательную и алгебраическую формы этих чисел:

, ,– показательная форма.

,  ,– алгебраическая форма.

Пример 5. Решить: а) систему уравнений; б), в) неравенства (геометрически):

а)

б) ;

в) .

Решение. а) Перепишем первое уравнение в виде . Из геометрического смысла модуля разности двух комплексных чисел следует, что множество решений

этого уравнения задаёт окружность радиусом 1 с центром в точке . Аналогично находим, что решением уравненияявляется окружность радиусом 1 с центром в точке (1 + 2i). Решением нашей системы уравнений являются точки пересечений этих окружностей.

Запишем z в алгебраической форме: z = x + yi.

Тогда

Отсюда, вычитая из первого уравнения второе, получим и находим x = 3/2 . Подставив это значение в первое уравнение, найдём y:;,. Таким образом, решениями нашей системы являются числа,.

б) Представление z в алгебраической форме приводит нас к неравенству x  y. Решением этого неравенства является замкнутая полуплоскость (заштриховано).

в) Перепишем неравенство в виде

.

Учитывая,  что модуль  разности  двух комплексных чисел равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости, приходим к выводу, что решением этого неравенства является кольцо с центром в точке (2 – 3i), внутренний радиус которого равен 1, а внешний равен 2.