II. Введение в анализ

1. Предел числовой последовательности

Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие действительное (комплексное) число. Последовательность обозначают символом(). Можно сказать, что последовательность является функцией(). Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух последовательностей. В этом разделе мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных чисел.

Число называетсяпределом последовательности если для любогонайдётся номертакой, что для любоговыполняется неравенство. При этом пишутилии говорят, что последовательностьсходится к числу.

Если ,, то: 1);

2) ; 3);

4) при ().

Пример 1. Дана последовательность .   Найдите: а); б)такое, что для всехвыполняется неравенство.

Решение. а) Имеем

.

б) Найдём требуемое . Из проделанных выше выкладок следует, чтодолжно быть подобрано так, чтобы для всех

или ;

отсюда следует ,. Следовательно, можно взять.

Последовательность называетсябесконечно малой, если .

Последовательность называетсябесконечно большой, если для любого найдётся номер n₀ такой, что для любого справедливо неравенство; записывается это так:. Если при этом, начиная с некоторого номера, сохраняет положительный (отрицательный) знак, то пишут() .

Важную роль играет последовательность Доказывается, что эта последовательность сходится, и ее предел обозначается буквой е; е2,718.

2. Элементарные функции

К элементарным функциям относятся:

1) простейшие элементарные функции: постоянная с, степенная , показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические;

2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция).

Пример 2. В класс элементарных функций попадают:

а) многочлен; б) рациональная дробь (отношение двух многочленов); в) , так как; г); д), так каки множество других.

3. Предел функции

Пусть функция определена во всех точках интервала, за исключением, быть может, точки. Число А называется пределом функциив точке, если для любогосуществует числотакое, что для любого x, удовлетворяющего неравенству, выполняется неравенство, при этом пишут. Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: число A называется пределом функциив точке x₀, если для любой последовательности чисел , сходящейся к,.

Если определена в интервале, то число A называется пределомпри, если для любогосуществует число, такое, что неравенствовлечет за собой неравенство. При этом пишутили. Аналогично определяется.

Число A называют пределом функции в точкеслева (справа) и пишутили, или, если для любогонайдетсятакое, что для всех(для всех) справедливо неравенство. ЧислоA является пределом в точке, если совпадают пределыв этой точке слева и справа:.

Если функция определена в интервале(в интервале) и для любогоM существует такое, что для любого(для любогосправедливо неравенство, то говорят, что левый (правый) предел функциив точкеравен, и при этом пишутилиилиАналогично определяютсяи.

Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если ,, то

1. 

2. 

3. 

4. 

(последнее при ). То же верно для односторонних пределов.

Пример 3. Доказать, что . По данномунайтитакое, что из неравенстваследует.

Решение. Пусть произвольно. Неравенство

равносильно неравенству . Поэтому, если по данномувзять, то из неравенствабудет следовать неравенствоа это и означает, что. В частности, длядостаточно взять.

Пример 4. Найти пределы:

а), б), в).

Решение. а)

;

б)

в)

Пример 5. Вычислить:

а) б)

Решение. а) При подстановке в числитель и знаменатель они обращаются в нуль.

Следовательно, мы имеем неопределенность вида

Разложим числитель и знаменатель на множители и перейдем к пределу

б) В этом примере имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на произведение, получим

.

Пример 6. .

Решение. Имеем неопределенность вида.

.

Имеют место равенства

, ,

называемые первым и вторым замечательными пределами.

Пример 7. Найти:

а) ; б); в).

Решение. а) Применяем первый замечательный предел:

.

.

б)

.

в)

=

.

Пример 8. Найти:

а) ; б).

Решение.

а) .

В основании прибавим и вычтем единицу

.

Тогда

.

Вычисляем =

.

Тогда

б)

.

Тогда

.

в) .