10. Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных в замкнутой области
Д
ля
нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции
в ограниченной замкнутой области (D)
поступают следующим образом. Сначала
находят стационарные точки
M1,
M2,…,
Mk,
принадлежащие (D).
Затем исследуют сужение
функцииu
= u(x1;
…; xn)
на границе
области (D).
Пусть
,
– точки максимума и минимума
функции
. После этого
сравнивают значения
и
,
и
и среди этих значений выбирают наибольшее
и наименьшее.
Пример 15. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области (D), заданной
неравенствами
,
,
.
Решение. Изобразим область (D); она представляет собой треугольник с вершинами A(–1;–2), B(–1;5), C(6;–2). Найдём стационарные точки.
, 
.
Решим систему уравнений
Решением этой системы является x=1, y=2. Стационарная точка M(1;2) принадлежит области (D), так как её координаты удовлетворяют всем трём неравенствам, задающим треугольник (D). Найдём значение функции в этой точке: u(M) = 2 – 8 + 12 + 4 – 16 + 5 = –1.
Исследуем функцию
на границе
области (D). Граница
представляет собой объединение трёх
отрезков:
– отрезка BC,
– отрезка AB,
– отрезка AC.
1)
.
=
2x2
– 4x(4 – x)+3(4 – –x)2
+ 4x – 8(4–x)
+ 5 = 2x2
– 16x + 4x2
+ 3(16 – 8x + x2)
+ 4x –32 + 8x + +5 = 9x2
– 28x + 21.
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции
9x2
– 28x + 21 на отрезке [–1; 6].
Имеем
18x
– 28; x = 14/9 – стационарная точка функции
,
14/9
[–1; 6]. Обозначим N1(14/9;
4 –14/9) или N1(14/9;
22/9).
u(N1)
=
=196/9
– 392/9 + 21 = –34/9.
Найдём значения
на концах отрезка [–1; 6]:
= u(B) = 58;
= u(C) = 177.
Наибольшим из этих значений является
u(C) = 177, наименьшим – u(N1)
= – 34/9.
2)
. 
=
2 + 4y
+ 3y2
– 4 – 8y
+ 5=
= 3y2
– 4y + 3. Найдём наибольшее и наименьшее
значения функции
=
3y2
– 4y + 3 на отрезке [–2; 5];
=
6y – 4; y = 2/3 – стационарная точка функции
,
принадлежащая отрезку [–2; 5]. Обозначим
N2(–1;
2/3). U(N2)
=
.
Найдём значения
функции
на концах отрезка [– 2; 5]:
=
u(A)
= 23;
=u(B)
= 58.
3)
.
=
2x2
+ 8x
+ 12 + 4x
+ +16 + 5 = 2x2
+ 12x
+ 33. Обозначим
=
2x2
+ 12x + 33.
= 4x + 12. Стационарная
точка x = – 3 не принадлежит отрезку [–1;
6], поэтому она нас не интересует. Значения
на концах отрезка [–1; 6] были найдены
ранее:
=
u(A) = 23,
=
u(C) = 177.
Сравнивая все полученные значения, находим
=
u(C)
= u(6;
–2) = 177,
=u(M)
= u(1;2) = –1.
Задание 8.1
Найдите пределы
и
.
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
;
, 
;
;
;
.
Задание 8.2
Найдите
для функции
и значение частной производной в
указанной точке (M).
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Задание 8.3
Найдите
для
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
.
Задание 8.4
Найдите все частные
производные второго порядка функции
.
Найдите значения указанной частной
производной в указанной точке.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
.
Задание 8.5
Докажите, что функция 
удовлетворяет
дифференциальному уравнению в частных производных
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 8.6
Найдите du и
для функции
.
1)
;6)
;
2)
;7)
;
3)
;8)
;
4)
;9)
;
5)
; 10)
;
11)
;21)
;
12)
; 22)
;
13)
; 23)
;
14)
; 24)
;
15)
; 25)
;
16)
; 26)
;
17)
; 27)
;
18)
; 28)
;
19)
; 29)
;
20)
; 30)
.
Задание 8.7
Составьте уравнение
касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением
в указанной точке
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
.
Задание 8.8
Пользуясь правилом
дифференцирования сложной функции,
найдите
для заданных функций
.
1) 
;
2) 
;
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
;
16) 
;
17) 
;
18) 
;
19) 
;
20) 
;
21) 
;
22) 
;
23) 
;
24) 
;
25) 
;
26) 
;
27) 
;
28) 
;
29) 
;
30) 
.
Задание 8.9
Найдите
для
функции, заданной неявно.
1)
;3)
;
2)
;4)
;
5)
;
18)
;
6)
;
19)
;
7)
;20)
;
8)
;21)
;
9)
;22)
;
10)
;23)
;
11)
;24)
;
12)
;
25)
;
13)
;
26)
;
14)
;
27)
;
15)
;
28)
;
16)
;
29)
;
17)
; 30)
.
Задание 8.10
Найдите
для функции
,
заданной неявно указанным уравнением.
1)
; 11)
;
2)
; 12)
;
3)
; 13)
;
4)
; 14)
;
5)
;15)
;
6)
;16)
;
7)
;17)
;
8)
;18)
;
9)
;19)
;
10)
; 20)
;
21)
; 26)
;
22)
; 27)
;
23)
; 28)
;
24)
; 29)
;
25)
; 30)
Задание 8.11
Найдите точки
экстремума функции
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
.
Задание 8.12
Найдите точки
экстремума функции
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
.
Задание 8.13
Для нечетных
номеров варианта: в эллипсоид
вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема. Для четных номеров
варианта: в тело (Т), ограниченное
эллиптическим параболоидом
и плоскостью z = 0, вписать прямоугольный
параллелепипед наибольшего объема.
|
№ |
a |
b |
c |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 |
2 1 3 2 2 3 3 2 4 5 2 4 5 6 3 6 2 6 4 4 2 1 6 3 4 5 2 2 3 1 |
3 2 1 5 4 2 4 3 1 4 1 3 3 1 2 4 1 4 5 1 1 3 1 2 6 1 5 1 1 3 |
6 5 6 6 5 1 6 4 6 2 5 5 1 3 4 1 3 2 3 5 4 4 5 5 2 6 3 6 4 5 |