13. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами

Если все коэффициенты в (22) являются постоянными величинами, то (22) называют системой с постоянными коэффициентами; матрицаявляется постоянной.

Для нахождения фундаментальной системы решений однородной системы с постоянными коэффициентами решают характеристическое уравнение

. (24)

Набору из n корней (с учетом кратности) уравнения (24) ставят в соответствие определенный набор частных решений, составляющих ФСР системы.

А. Если  – простой корень уравнения (24), то ему ставится в соответствие вектор-функция (частное решение однородной системы)

,

где – собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению. Напомним (гл.10, п.5), что собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению находится как ненулевое решение однородной СЛАУ

Б. Если – простые попарно сопряженные комплексные корни уравнения (24), то этой паре ставится в соответствие пара функций

, ,

где, как и прежде, – собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению.

В. Если  – корень кратностью r 1, то общее решение системы (22) ищется в виде

,

при этом находят путем подстановки этой функции в систему (22).

Пример 24. Решить задачу Коши

x(0)=3, y(0)=1.

Решение. Матрица системы имеет вид

Найдем собственные числа и собственные вектора матрицы А. Для этого составим однородную СЛАУ, ненулевые решения которой есть собственные вектора матрицы А.

()

Известно, что однородная СЛАУ имеет ненулевые решения, когда её определитель равен нулю.

Решим полученное характеристическое уравнение

–простые корни.

Подставляя теперь по очереди собственные числа матрицы А в СЛАУ () и решая полученное СЛАУ найдем собственные вектора матрицы А.

1) =2.

В качестве собственного вектора можно взять , следовательно,будет частным решением однородной системы.

2) . Это собственное значение приводит к системе

Вектор является собственным вектором, отвечающим собственному значению. В качестве второго элемента ФСР однородной системы можно взять.

Общее решение однородной системы имеет вид

,

где – произвольные постоянные, иначе говоря, общим решением однородной системы является

Для нахождения коэффициентов воспользуемся начальными условиями:

отсюда находим . Таким образом, решением задачи Коши является

Пример 25. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Матрица этой линейной однородной системы с постоянными коэффициентами имеет вид

Найдем собственные значения этой матрицы:

–двукратный корень этого характеристического уравнения.

Общее решение системы уравнений будем искать в виде вектор- функции

,

или

(25)

Тогда

Подставим эти функции x(t), y(t) в исходную систему дифференциальных уравнений; после сокращения на получим следующую систему уравнений:

или

Приравняв выражения в скобках к нулю, придем к системе линейных однородных уравнений с неизвестными .

(26)

Решим эту систему методом Гаусса, расположив неизвестные по порядку:

 

 

Получим, что система (26) равносильна следующей системе из двух уравнений:

Объявим неизвестные исвободными и положим. Тогда решение системы (25) запишем в виде

Подставим эти значения в (25), получим решение исходной системы дифференциальных уравнений в виде

Пример 26. Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений

x(0)=1, y(0)=0.

Решение. Сначала найдем общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений. Матрицей системы является

Найдем собственные числа и собственные вектора матрицы А. Для этого составим однородную СЛАУ, ненулевые решения которой есть собственные вектора матрицы А.

()

Известно, что однородная СЛАУ имеет ненулевые решения, когда её определитель равен нулю.

Решим полученное характеристическое уравнение

; .

Корнями этого уравнения являются Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению:

Ранг матрицы этой системы равен единице, и она равносильна уравнению

.

Положим , тогда. Векторявляется собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению. Имеем

Отсюда находим пару вещественных решений системы дифференциальных уравнений, образующих ФСР:

, .

Общее решение нашей системы имеет вид

или

Перейдем к решению задачи Коши. Для нахождения коэффициентов ивоспользуемся начальными условиями:

Поэтому решением нашей задачи является система