7. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

А. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомую функцию и ее производные до порядкавключительно:

= 0.

Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц путем замены , при этом исходное уравнение сведется к уравнению

Пусть – общее решение последнего уравнения. Тогда общее решение исходного уравнения находится путем k-кратного интегрирования функции

Пример 10. Решить задачу Коши

Решение. Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения В это уравнение не входит явно неизвестная функция. Сделаем заменуУравнение примет вид

Это уравнение с разделяющимися переменными

.

Следовательно,

Для нахожденияивоспользуемся начальными условиями:

Таким образом, решением нашей задачи является

или

Б. Дифференциальное уравнение, не содержащее явно независимое переменное:

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу путем подстановки . При этом уравнение примет вид

.

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Введем новое переменное Тогда

Наше уравнение примет вид

1)

2) Это линейное уравнение. Сделаем подстановку, тогдаИмеем

Решим систему

Вспомним, что

; ; .

Представим функцию в виде суммы простых дробей:

Отсюда находим

Это и есть общее решение исходного уравнения.

8. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка называется дифференциальное уравнение вида

(10)

где известные функции,искомая функция.

Система функций называется линейно-зависимой, если существуют числане все равные нулю и такие чтоЕсли же последнее равенство возможно лишь прито система функцийназывается линейно независимой.

Теорема 1. Пусть линейно независимая система решений уравнения (10). Тогдаобщее решение уравнения (10) имеет вид

где произвольные постоянные.

Система линейно независимых решений уравнения (10) называетсяфундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (10).

В общем случае найти фундаментальную систему решений уравнения (10), а значит и его общее решение, очень сложно; в большинстве случаев эта задача неразрешима. Однако задача заметно облегчается, если являются постоянными величинами.

Для решения ЛОДУ с действительными постоянными коэффициентами

(11)

составляется характеристическое уравнение

(12)

Зная корни уравнения (12) , можно составить ФСР уравнения (11).

А. Каждому действительному простому корню ставится в соответствие функция– частное решение уравнения (11).

Б. Каждому действительному корню кратности k ставится в соответствие следующий набор из k частных решений (11):

В. Каждой паре комплексно-сопряженных простых корней уравнения (12) ставится в соответствие следующая пара частных решений уравнения (11):

Г. Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности k ставится в соответствие следующий набор из 2-х частных решений уравнений (11):

;

.

Следуя указанному правилу, строится ФСР уравнения (11) и находится общее решение этого уравнения как линейная комбинация элементов фундаментальной системы решений.

Пример 12. Решить уравнение .

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение простые корни.   Значит, функцииобразуют ФСР дифференциального уравнения. Следовательно, общее решение уравнения имеет видгдепроизвольные числа.

Пример 13. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет один двукратный кореньЕму соответствует пара функцийобразующая ФСР дифференциального уравнения. Общим решением ЛОДУ является

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет пару простых попарно-сопряженных корней,.

Им соответствует пара функций образующих ФСР дифференциального уравнения. Общим решением уравнения является

.

Пример 15. Решить уравнение

Решение. Решим характеристическое уравнение

Корнями уравнения являются: – коренькратностью 2; ,– простые корни;,– простые корни. Им соответствует следующий набор функций:

Эти функции образуют ФСР ЛОДУ. Общим решением уравнения является