- •XII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1. Определение дифференциального уравнения. Задача Коши
- •2. Уравнение с разделяющимися переменными
- •3. Однородные дифференциальные уравнения
- •4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •5. Уравнение Бернулли
- •6. Уравнение в полных дифференциалах
- •7. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •8. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •10. Метод вариации постоянных
- •11. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •12. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы
- •13. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
- •14. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
- •Задание 12.1
- •Задание 12.11
- •Задание 12.12
- •Библиографический список
- •Бородицкий м.П., Каибханов к.Э.,
10. Метод вариации постоянных
Если известно общее решение однородного уравнения (10), то общее решение неоднородного уравнения (13) (с теми же коэффициентами ) можно найти, используя метод вариации постоянных. Пусть– ФСР однородного уравнения (10) и– общее решение (10). Общее решение неоднородного уравнения (13) ищется в виде
, (19)
где коэффициенты рассматриваются как неизвестные функции, получающиеся путем вариации постоянных. Подстановка функции (19) в уравнение (13) приводит к следующей системе уравнений относительно:
Решив эту систему и подставив найденные функции в (19), получим общее решение неоднородного уравнения (13).
В частности для уравнения второго порядка система имеет вид
Пример 21. Решить уравнение
Решение. Общим решением однородного уравнения являетсяБудем искать общее решение неоднородного уравнения в виде
В соответствии с общей схемой здесь – функции, удовлетворяющие системе
Решим эту систему методом Крамера:
Отсюда находим
,
Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является
или
где – произвольные постоянные.
11. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Пример 22. Найти кривую, проходящую через точку (1;2) и обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного касательной, осью абсцисс и радиус-вектором, проведенным к точке касания, есть величина постоянная, равная 5.
Решение. Пусть B(x;y) – точка касания, BC – отрезок касательной,
AB – радиус-вектор, BH – высота треугольника ABC, площадь которого равна 5. Если, тои длина основанияAC равна . Так как, то. С учетом того, чтоэто уравнение сводится к линейному относительноx(y) дифференциальному уравнению с начальным условием. Решением этого линейного дифференциального уравнения является. Из дополнительного условияследует, что С= –3/4. Таким образом, искомая кривая задается уравнением.
Пример 23. Рыболовецкий бот движется по заливу со скоростью 25 км/ч. Через 1 минуту после остановки двигателя его скорость составила 15 км/ч. Считая, что сопротивление воды пропорционально квадрату скорости лодки, найти скорость лодки через 3 минуты после остановки двигателя.
Решение. Пусть v(t) – скорость лодки в момент времени t. Из второго закона Ньютона и условия задачи следует, что . Отсюдаи, следовательно,.
Учитывая начальные условия , находим, а из условияследует, что. Наконец,
.
12. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы
Система уравнений вида
(20)
где t – независимое переменное, – искомые функции, называется нормальной системой дифференциальных уравненийn-го порядка. Решением этой системы на интервале называется совокупность функций, которые при подстановке их в систему (20) обращают уравнения системы в тождества на.
Как правило, система (20) имеет бесконечное множество решений ,,…,при этом каждая искомая функция зависит отn параметров .
Задача Коши системы (20) ставится следующим образом: требуется найти решение системы (20), удовлетворяющее начальным условиям
(21)
При некоторых ограничениях на функции задача Коши (20) – (21) имеет единственное решение.
Нормальная линейная однородная система n-го порядка имеет вид
(22)
Если обозначить
то системе (22) можно придать компактный вид, записав ее в матричной форме: .
Совокупность из n линейно независимых решений ,
где , называется фундаментальной системой решений (ФСР) системы (22).
Теорема 4. Если – ФСР системы (22), то общее решение системы (22) имеет вид
,
где – произвольные постоянные.
Линейная неоднородная система n-го порядка имеет вид
(23)
или в матричной форме ,
где .
Теорема 5. Пусть – некоторое частное решение системы (23), а– ФСР соответствующей однородной системы (22). Тогда общее решение неоднородной системы (23) имеет вид
,
или, короче, ,
где – общее решение однородной системы (22), соответствующей системе (23).
В общем случае невозможно найти ни ФСР однородной системы (22), ни частное решение неоднородной системы (23). Но задача намного упрощается, если мы имеем дело с системами с постоянными коэффициентами.